解説

方針・初手

まず、放物線 $C:y=ax^2$ の点 $P(t,at^2)$ における接線 $m$ の傾きを求める。

つぎに、$v$ は $y$ 軸に平行な直線、すなわち鉛直な直線であるから、$m$ に関して $v$ を対称移動した直線 $\ell$ は、$m$ を角の二等分線として決まる。したがって、$m$ の傾きから $\ell$ の傾きを求められる。

さらに、対称の中心となる点 $P$ は $m$ 上にあるので、対称移動後の直線 $\ell$ も $P$ を通る。よって、$\ell$ の方程式を書けば $y$ 切片が求まる。

解法1

放物線 $C:y=ax^2$ を微分すると

$$ \frac{dy}{dx}=2ax $$

である。

したがって、点 $P(t,at^2)$ における接線 $m$ の傾きは

$$ 2at $$

である。

よって、接線 $m$ の方程式は

$$ y-at^2=2at(x-t) $$

すなわち

$$ y=2atx-at^2 $$

である。

**(1)**

接線 $m$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とすると、

$$ \tan\theta=2at $$

である。

一方、直線 $v$ は $y$ 軸に平行であるから、$x$ 軸となす角は $\dfrac{\pi}{2}$ である。$v$ を $m$ に関して対称移動したものが $\ell$ であるから、$\ell$ が $x$ 軸となす角を $\phi$ とすると、対称性より

$$ \phi-\theta=\theta-\frac{\pi}{2} $$

したがって

$$ \phi=2\theta-\frac{\pi}{2} $$

となる。

よって、$\ell$ の傾き $k$ は

$$ k=\tan\phi=\tan\left(2\theta-\frac{\pi}{2}\right) $$

であり、

$$ \tan\left(2\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\cot 2\theta $$

を用いると

$$ k=-\frac{1}{\tan 2\theta} $$

となる。さらに

$$ \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} $$

であるから、

$$ k =-\frac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta} =\frac{\tan^2\theta-1}{2\tan\theta} $$

となる。ここで $\tan\theta=2at$ を代入すると

$$ k=\frac{(2at)^2-1}{2\cdot 2at} =\frac{4a^2t^2-1}{4at} $$

を得る。

したがって、$\ell$ の傾きは

$$ \frac{4a^2t^2-1}{4at} $$

である。

**(2)**

直線 $v$ は点 $P$ を通り、しかも $P$ は対称軸 $m$ 上の点であるから、対称移動しても $P$ は動かない。したがって、直線 $\ell$ も点 $P(t,at^2)$ を通る。

よって、$\ell$ の方程式は

$$ y-at^2=\frac{4a^2t^2-1}{4at}(x-t) $$

である。

このとき $x=0$ とおけば、$\ell$ の $y$ 切片を $b$ として

$$ b-at^2=\frac{4a^2t^2-1}{4at}(0-t) $$

すなわち

$$ b-at^2=-\frac{4a^2t^2-1}{4a} $$

となる。したがって

$$ b=at^2-\frac{4a^2t^2-1}{4a} =\frac{4a^2t^2-(4a^2t^2-1)}{4a} =\frac{1}{4a} $$

である。

よって、$\ell$ の $y$ 切片は

$$ \frac{1}{4a} $$

となり、$t$ によらず一定であることが示された。

解説

この問題の要点は、対称移動そのものを座標で直接追うのではなく、まず接線 $m$ の傾きを求め、ついで「対称軸は元の直線と移動後の直線のなす角の二等分線になる」という性質を使うことである。

また、$\ell$ が $P$ を通ることを見落とすと、$y$ 切片の計算が進まない。対称軸上の点は対称移動で不動であることを押さえるのが重要である。

答え

**(1)**

$\ell$ の傾きは

$$ \frac{4a^2t^2-1}{4at} $$

である。

**(2)**

$\ell$ の $y$ 切片は

$$ \frac{1}{4a} $$

であり、$t$ によらず一定である。