解説

方針・初手

2つの放物線の交点の $x$ 座標は，$C$ と $D$ の式を連立して得られる方程式の解である。したがって，まずその方程式が異なる2実根をもつ条件を調べればよい。

また，（2） では交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると，それらは放物線 $C$ 上の2点でもあるから，その2点を結ぶ直線の傾きは $x_1+x_2-a$ と表せる。よって，解と係数の関係で $m$ を $a$ の式に直し，最大値を調べる。

解法1

（1） 交点では

$$ x^2-ax-a=ax^2+ax $$

が成り立つ。整理すると

$$ (1-a)x^2-2ax-a=0 $$

を得る。

2つの放物線が異なる2点で交わるためには，この方程式が異なる2実根をもてばよい。

まず $a=1$ のときを調べると，

$$ -2x-1=0 $$

となり，解は1つしかない。したがって，$a=1$ は不適である。

次に $a>1$ では，この方程式は2次方程式であり，判別式は

$$ \Delta =(-2a)^2-4(1-a)(-a) =4a^2+4a(1-a) =4a $$

である。ここで $a\geqq 1$ より $a>0$ だから，$a>1$ のとき

$$ \Delta=4a>0 $$

となる。よって異なる2実根をもち，したがって放物線 $C,D$ は異なる2点で交わる。

以上より，求める範囲は

$$ a>1 $$

である。

（2） （1） の範囲で $a>1$ とする。交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると，$x_1,x_2$ は

$$ (1-a)x^2-2ax-a=0 $$

の2つの解である。

交点は放物線 $C:y=x^2-ax-a$ 上にもあるので，それらを通る直線の傾き $m$ は

$$ m=\frac{(x_1^2-ax_1-a)-(x_2^2-ax_2-a)}{x_1-x_2} \quad (x_1\ne x_2) $$

である。分子を整理すると

$$ m=\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2-a)}{x_1-x_2}=x_1+x_2-a $$

となる。

ここで解と係数の関係より

$$ x_1+x_2=\frac{2a}{1-a} $$

だから，

$$ m=\frac{2a}{1-a}-a =\frac{a(a+1)}{1-a}. $$

ここで $t=a-1$ とおくと，$t>0$ であり，

$$ a=t+1 $$

だから

$$ m=\frac{(t+1)(t+2)}{-t} =-\left(t+3+\frac{2}{t}\right). $$

したがって，$m$ を最大にするには

$$ t+\frac{2}{t} $$

を最小にすればよい。$t>0$ より，相加相乗平均の関係から

$$ t+\frac{2}{t}\geqq 2\sqrt{2} $$

であり，等号成立は

$$ t=\frac{2}{t} \quad\Longleftrightarrow\quad t=\sqrt{2} $$

のときである。

よって

$$ m\leqq -(3+2\sqrt{2}) $$

となり，最大値は

$$ m_{\max}=-(3+2\sqrt{2}) $$

である。このとき

$$ t=\sqrt{2} $$

すなわち

$$ a=1+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の要点は，交点の座標を直接求めきる必要はないという点にある。

（1） では，交点の $x$ 座標が満たす方程式の判別式を見るだけで十分である。$a=1$ のときだけ2次方程式でなくなることを見落としやすいので，そこを先に分けて確認するのが重要である。

（2） では，交点を結ぶ直線の傾きを，放物線上の2点を結ぶ弦の傾きとして処理すると簡潔である。2次式 $f(x)=x^2-ax-a$ に対して，2点 $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$ を結ぶ直線の傾きが $x_1+x_2-a$ になるため，解と係数の関係だけで $m$ を $a$ の式に直せる。その後は $t=a-1>0$ とおいて相加相乗平均を使えば，微分を使わずに最大値まで求められる。

答え

**(1)**

$$ a>1 $$

**(2)**

$$ a=1+\sqrt{2} $$

のとき $m$ は最大となり，

$$ m_{\max}=-(3+2\sqrt{2}) $$

である。