解説

方針・初手

面積を2等分する直線を求めるには、直線が三角形のどの辺と交わるかを見て、できる図形の面積比を利用するのが基本である。

（1） は頂点 $B$ を通るので、$OA$ 上のどこを通ればよいかを考える。 （2） は $P(1,2)$ が辺 $OA$ 上にあることに注目し、直線のもう一つの交点がどの辺上に来るかを確定してから面積比を使う。

解法1

**(1)**

点 $B$ を通って $\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は、辺 $OA$ の中点を通る。

実際、辺 $OA$ 上の点を $M$ とすると、直線 $BM$ によって $\triangle OAB$ は $\triangle BOM$ と $\triangle BAM$ に分かれる。これら2つの三角形は、頂点がともに $B$ で、底辺がともに直線 $OA$ 上にあるので、高さは等しい。したがって面積比は底辺比に等しい。

よって面積が等しくなるための条件は

$$ OM=MA $$

であり、$M$ は $OA$ の中点である。

$O(0,0),A(4,8)$ より、中点 $M$ は

$$ M\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(2,4) $$

である。

したがって、求める直線は $B(-2,11)$ と $M(2,4)$ を通る直線であり、その傾きは

$$ \frac{4-11}{2-(-2)}=-\frac{7}{4} $$

であるから、

$$ y-11=-\frac{7}{4}(x+2) $$

すなわち

$$ 7x+4y-30=0 $$

である。

**(2)**

まず、$P(1,2)$ は

$$ (1,2)=\frac14(4,8) $$

より、辺 $OA$ 上の点である。

この点 $P$ を通る直線で $\triangle OAB$ を2等分したい。直線のもう一つの交点が辺 $OB$ 上にあるとすると、その直線で切り取られる三角形は $\triangle OPQ$ の形になるが、その面積は最大でも $\triangle OPB$ の面積である。

ところが、$OP:OA=1:4$ なので、

$$ [\triangle OPB]=\frac14[\triangle OAB] $$

であり、これは $\frac12[\triangle OAB]$ にはならない。したがって、求める直線のもう一つの交点は辺 $AB$ 上にある。

そこで、その交点を $Q$ とする。

直線 $PQ$ によって、$\triangle OAB$ は四角形 $OPQB$ と三角形 $APQ$ に分かれる。面積が2等分されるための条件は

$$ [\triangle APQ]=\frac12[\triangle OAB] $$

である。

ここで、$\triangle APQ$ と $\triangle APB$ は底辺をそれぞれ $AQ,AB$ と見れば、高さはともに点 $P$ から直線 $AB$ への距離で共通である。したがって

$$ [\triangle APQ]:[\triangle APB]=AQ:AB $$

である。

また、$\triangle APB$ と $\triangle AOB$ は、底辺をそれぞれ $AP,AO$ と見れば高さが等しいので、

$$ [\triangle APB]:[\triangle AOB]=AP:AO $$

である。$P(1,2)$ は $OA$ を $1:3$ に内分するから、

$$ AP:AO=3:4 $$

したがって

$$ [\triangle APB]=\frac34[\triangle AOB] $$

である。

よって

$$ [\triangle APQ]=\frac12[\triangle OAB] $$

となるためには

$$ \frac{AQ}{AB}\cdot \frac34=\frac12 $$

すなわち

$$ \frac{AQ}{AB}=\frac23 $$

であればよい。したがって

$$ AQ:QB=2:1 $$

である。

よって、$Q$ は $AB$ を $2:1$ に内分する点であり、

$$ Q=\frac{1\cdot A+2\cdot B}{3} =\left(\frac{4+2(-2)}{3},\frac{8+2\cdot 11}{3}\right) =(0,10) $$

となる。

したがって、求める直線は $P(1,2)$ と $Q(0,10)$ を通る直線であり、その傾きは

$$ \frac{10-2}{0-1}=-8 $$

であるから、

$$ y-2=-8(x-1) $$

すなわち

$$ 8x+y-10=0 $$

である。

解説

（1） は「頂点を通って三角形の面積を2等分する直線は、反対側の辺の中点を通る」という中線の性質を使う典型問題である。

（2） では、まず直線のもう一つの交点がどの辺に来るかを見極めることが重要である。$P$ が $OA$ 上でかなり $O$ 寄りにあるため、$OB$ と結んでも半分の面積は作れない。そこを見抜いたうえで、$AB$ 上の点との位置関係を面積比に落とし込めば処理できる。

答え

**(1)**

点 $B$ を通って $\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は

$$ 7x+4y-30=0 $$

である。

**(2)**

点 $P(1,2)$ を通って $\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は

$$ 8x+y-10=0 $$

である。