解説

方針・初手

$x+2y$ を直接動かして最大値を探すより、与えられた不等式 $x+3y\leqq 15$、$2x+y\leqq 10$ を用いて $x+2y$ を上からおさえるのが早い。

特に、$x+2y$ を $x+3y$ と $2x+y$ の係数つき和で表せれば、そのまま最大値が分かる。

解法1

$x+2y$ を

$$ x+2y=a(x+3y)+b(2x+y) $$

と表すことを考える。

係数を比較すると

$$ \begin{aligned} a+2b&=1,\\ 3a+b&=2 \end{aligned} $$

であるから、これを解いて

$$ a=\frac35,\quad b=\frac15 $$

を得る。

したがって

$$ x+2y=\frac35(x+3y)+\frac15(2x+y) $$

である。

ここで、条件 $x+3y\leqq 15,\ 2x+y\leqq 10$ を用いると

$$ x+2y =\frac35(x+3y)+\frac15(2x+y) \leqq \frac35\cdot 15+\frac15\cdot 10 =9+2=11 $$

となる。

よって、$x+2y\leqq 11$ であり、最大値は高々 $11$ である。

あとはこの値が実際にとれるかを確かめればよい。

$x+3y=15,\ 2x+y=10$ を連立すると、

$$ \begin{aligned} x+3y&=15,\\ 2x+y&=10 \end{aligned} $$

より

$$ x=3,\quad y=4 $$

を得る。

このとき $x\geqq 0,\ y\geqq 0$ も満たしているので、条件をすべて満たす。

したがって

$$ x+2y=3+2\cdot 4=11 $$

となり、確かに $11$ が実現する。

よって最大値は $11$ である。

解法2

条件を満たす点 $(x,y)$ の範囲を座標平面上に表す。

境界となる直線は

$$ x+3y=15,\qquad 2x+y=10,\qquad x=0,\qquad y=0 $$

である。

それぞれとの交点を調べると、

**(i)**

$y=0$ のとき $2x\leqq 10$ より $x\leqq 5$ であるから、$x$ 軸上の端点は $(5,0)$ である。

**(ii)**

$x=0$ のとき $3y\leqq 15$ より $y\leqq 5$ であるから、$y$ 軸上の端点は $(0,5)$ である。

（iii） 2直線 $x+3y=15$ と $2x+y=10$ の交点は

$$ \begin{aligned} x+3y&=15,\\ 2x+y&=10 \end{aligned} $$

を解いて

$$ x=3,\quad y=4 $$

である。

したがって、条件を満たす範囲は頂点

$$ (0,0),\ (5,0),\ (3,4),\ (0,5) $$

をもつ四角形である。

一次式 $x+2y$ はこの範囲の頂点で最大値をとるので、各頂点での値を調べる。

$$ \begin{aligned} (0,0)&:\ x+2y=0,\\ (5,0)&:\ x+2y=5,\\ (3,4)&:\ x+2y=11,\\ (0,5)&:\ x+2y=10 \end{aligned} $$

よって最大値は $11$ である。

解説

この問題は一次式の最大値を求める問題であり、連立不等式で定まる範囲の扱いがポイントである。

解法1のように、求める式を与えられた不等式の左辺の係数つき和に直すと、図をかかなくても一気に上界が出せる。非常に効率のよい解法である。

一方、解法2は座標平面上の領域を把握して、頂点で値を調べる標準的な方法である。一次式の最大・最小では、範囲の頂点を確認する発想が基本となる。

答え

最大値は

$$ 11 $$

である。