解説

方針・初手

領域は

$$ 0 \le y \le 2-x^2 $$

であり、さらに $x^2 \le 2$ だから

$$ -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} $$

である。

求める値

$$ \frac{y+1}{x+3} $$

では、$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ より $x+3>0$ である。したがって、$x$ を固定するとこの式は $y$ が大きいほど大きくなる。よって、最大値は上側境界 $y=2-x^2$ 上で、最小値は下側境界 $y=0$ 上で調べればよい。

解法1

まず最小値を求める。

$y \ge 0$ であり、$x+3>0$ なので、$x$ を固定したとき

$$ \frac{y+1}{x+3} $$

は $y=0$ のとき最小になる。したがって

$$ \frac{y+1}{x+3} \ge \frac{1}{x+3} $$

である。

ここで $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ において、$x+3$ は $x$ が大きいほど大きくなるから、

$$ \frac{1}{x+3} $$

は $x$ が大きいほど小さくなる。よって最小値は $x=\sqrt{2},\ y=0$ のときで、

$$ \min \frac{y+1}{x+3} = \frac{1}{3+\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{2}}{7} $$

となる。

次に最大値を求める。

$x$ を固定すると式は $y$ が大きいほど大きいので、最大値は $y=2-x^2$ 上でとる。そこで

$$ f(x)=\frac{(2-x^2)+1}{x+3} =\frac{3-x^2}{x+3} \qquad (-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}) $$

とおく。

これを微分すると、

$$ f'(x) =\frac{-2x(x+3)-(3-x^2)}{(x+3)^2} =\frac{-x^2-6x-3}{(x+3)^2} $$

である。

したがって

$$ f'(x)=0 $$

より

$$ x^2+6x+3=0 $$

すなわち

$$ x=-3\pm \sqrt{6} $$

を得る。このうち区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ に入るのは

$$ x=-3+\sqrt{6} $$

のみである。

よって、$x=-\sqrt{2},\ -3+\sqrt{6},\ \sqrt{2}$ での値を比較する。

まず端点では

$$ f(-\sqrt{2})=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\qquad f(\sqrt{2})=\frac{1}{3+\sqrt{2}} $$

である。

また、

$$ f(-3+\sqrt{6}) =\frac{3-(-3+\sqrt{6})^2}{\sqrt{6}} $$

であり、

$$ (-3+\sqrt{6})^2=15-6\sqrt{6} $$

だから

$$ 3-(-3+\sqrt{6})^2 =3-(15-6\sqrt{6}) =6\sqrt{6}-12 $$

となる。したがって

$$ f(-3+\sqrt{6}) =\frac{6\sqrt{6}-12}{\sqrt{6}} =6-2\sqrt{6} $$

である。

よって最大値は

$$ \max \frac{y+1}{x+3}=6-2\sqrt{6} $$

となる。

解説

この問題の要点は、分母 $x+3$ が常に正であることに気づくことである。これにより、$x$ を固定したとき式は $y$ に関して単調増加であると分かる。

その結果、最大値は上側境界 $y=2-x^2$、最小値は下側境界 $y=0$ へと問題を落とせる。あとは1変数関数の最大・最小に帰着するので、処理は標準的である。

答え

最大値は

$$ 6-2\sqrt{6} $$

最小値は

$$ \frac{1}{3+\sqrt{2}}=\frac{3-\sqrt{2}}{7} $$

である。