解説

方針・初手

まず

$$ x+3y\le 12,\quad 3x+y\le 12,\quad x\ge 0,\quad y\ge 0 $$

でできる基本の領域を考える。

その上で

$$ a(x-3)+b(y-2)\le 0 $$

すなわち

$$ ax+by\le 3a+2b $$

という直線がその領域のどの辺を切るかを調べれば、求める領域が分かる。

また、$x+y$ の最大値は凸多角形の頂点で達成されるので、頂点の値を比べればよい。

解法1

（1） 領域の図示

まず

$$ x+3y=12,\qquad 3x+y=12 $$

と座標軸で囲まれる領域を考える。

各頂点は

$$ O=(0,0),\quad A=(4,0),\quad B=(3,3),\quad C=(0,4) $$

である。

次に

$$ ax+by=3a+2b $$

がこの四角形のどこを通るかを調べる。

点 $A,B,C$ における左辺 $a(x-3)+b(y-2)$ の値をみると、

$$ A(4,0)\text{ では }a-2b<0 $$

である。実際、$2b<3a<6b$ より $a<2b$ だからである。

また、

$$ B(3,3)\text{ では }b>0 $$

であり、

$$ C(0,4)\text{ では }-3a+2b<0 $$

である。実際、$2b<3a$ より $-3a+2b<0$ である。

したがって、直線 $ax+by=3a+2b$ は辺 $AB$ と辺 $BC$ をそれぞれ1点ずつで切る。

辺 $AB$ との交点

辺 $AB$ は

$$ 3x+y=12 $$

であるから、これを $ax+by=3a+2b$ と連立すると

$$ \begin{aligned} ax+b(12-3x)&=3a+2b\\ (a-3b)x&=3a-10b \end{aligned} $$

より、

$$ x=\frac{10b-3a}{3b-a} $$

したがって

$$ y=12-3x=\frac{3(2b-a)}{3b-a} $$

である。

よって、交点を

$$ P\left(\frac{10b-3a}{3b-a},\ \frac{3(2b-a)}{3b-a}\right) $$

とおく。

辺 $BC$ との交点

辺 $BC$ は

$$ x+3y=12 $$

であるから、これを $ax+by=3a+2b$ と連立すると

$$ \begin{aligned} ax+b\cdot \frac{12-x}{3}&=3a+2b\\ (3a-b)x&=3(3a-2b) \end{aligned} $$

より、

$$ x=\frac{3(3a-2b)}{3a-b} $$

したがって

$$ y=\frac{9a-2b}{3a-b} $$

である。

よって、交点を

$$ Q\left(\frac{3(3a-2b)}{3a-b},\ \frac{9a-2b}{3a-b}\right) $$

とおく。

以上より、求める領域は

$$ O(0,0),\ A(4,0),\ P,\ Q,\ C(0,4) $$

をこの順に結ぶ五角形（境界を含む）である。

（2） $x+y$ の最大値

求める領域は凸多角形であるから、$x+y$ の最大値は頂点で調べれば十分である。

まず

$$ O(0,0),\ A(4,0),\ C(0,4) $$

では

$$ x+y=0,\ 4,\ 4 $$

である。

したがって、あとは $P,Q$ における値を比べればよい。

点 $P$ での値

$$ \begin{aligned} x+y &=\frac{10b-3a}{3b-a}+\frac{3(2b-a)}{3b-a}\\ &=\frac{16b-6a}{3b-a}\\ &=\frac{2(8b-3a)}{3b-a} \end{aligned} $$

点 $Q$ での値

$$ \begin{aligned} x+y &=\frac{3(3a-2b)}{3a-b}+\frac{9a-2b}{3a-b}\\ &=\frac{18a-8b}{3a-b}\\ &=\frac{2(9a-4b)}{3a-b} \end{aligned} $$

よって、これらを比較する。

$$ \begin{aligned} &\frac{2(8b-3a)}{3b-a}-\frac{2(9a-4b)}{3a-b}\\ &=\frac{8b(b-a)}{(3b-a)(3a-b)} \end{aligned} $$

ここで、$3b-a>0,\ 3a-b>0,\ b>0$ であるから、符号は $b-a$ の符号で決まる。

したがって、

**(i)**

$a<b$ のとき

$$ \frac{2(8b-3a)}{3b-a}>\frac{2(9a-4b)}{3a-b} $$

より最大値は

$$ \frac{2(8b-3a)}{3b-a} $$

である。

**(ii)**

$a>b$ のとき

$$ \frac{2(8b-3a)}{3b-a}<\frac{2(9a-4b)}{3a-b} $$

より最大値は

$$ \frac{2(9a-4b)}{3a-b} $$

である。

**(iii)**

$a=b$ のときは両者は等しく、

$$ x+y=5 $$

が最大値である。

解説

最初の4本の不等式でできる領域は、頂点 $(0,0),(4,0),(3,3),(0,4)$ をもつ四角形である。

そこに直線

$$ ax+by=3a+2b $$

を加えると、条件 $2b<3a<6b$ によってこの直線はちょうど辺 $AB$ と辺 $BC$ を切る。したがって、領域は五角形になる。

また、$x+y$ の最大値は直線 $x+y=k$ を平行移動して考えてもよいが、結局は頂点で達成されるので、交点 $P,Q$ のどちらが大きいかを比較すればよい。比較の結果、境目は $a=b$ である。

答え

**(1)**

求める領域は、頂点

$$ (0,0),\ (4,0),\ \left(\frac{10b-3a}{3b-a},\frac{3(2b-a)}{3b-a}\right),\ \left(\frac{3(3a-2b)}{3a-b},\frac{9a-2b}{3a-b}\right),\ (0,4) $$

をこの順に結ぶ五角形（境界を含む）である。

**(2)**

$x+y$ の最大値は

$$ \begin{cases} \dfrac{2(8b-3a)}{3b-a} & (a\le b)\\[1.2ex] \dfrac{2(9a-4b)}{3a-b} & (a\ge b) \end{cases} $$

である。ただし $a=b$ のときは両式とも $5$ となる。