解説

方針・初手

方程式 $x^2+ax+b=0$ の実数解を $\alpha,\beta$ とおくと，

$$ a=-(\alpha+\beta),\qquad b=\alpha\beta $$

である。

条件「実数解をもち，すべての解の絶対値が $1$ 以下」は

$$ -1\le \alpha\le 1,\qquad -1\le \beta\le 1 $$

と同値である。したがって，$\alpha,\beta\in[-1,1]$ のもとで $a,b$ がどの範囲を動くかを調べればよい。

解法1

実数解を $\alpha,\beta$ とすると，

$$ x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta) $$

より

$$ a=-(\alpha+\beta),\qquad b=\alpha\beta $$

である。

ここで

$$ s=\alpha+\beta $$

とおくと，

$$ a=-s,\qquad b=\alpha\beta $$

となる。

まず，$\alpha,\beta\in[-1,1]$ だから

$$ -2\le s\le 2 $$

すなわち

$$ -2\le a\le 2 $$

である。

次に，和 $s$ を固定して積 $b=\alpha\beta$ の範囲を求める。

$\beta=s-\alpha$ であるから，

$$ b=\alpha(s-\alpha)=-\alpha^2+s\alpha $$

となる。これは $\alpha$ の2次関数であり，下に凸ではなく上に凸であるから，最大値は頂点でとる。

頂点は $\alpha=\dfrac{s}{2}$ であり，このとき $\beta=\dfrac{s}{2}$ である。$-2\le s\le 2$ なので $\dfrac{s}{2}\in[-1,1]$ であり，実際に許される。よって

$$ b_{\max}=\left(\frac{s}{2}\right)^2=\frac{s^2}{4}=\frac{a^2}{4} $$

である。

一方，最小値は区間の端でとる。

**(i)**

$0\le s\le 2$ のとき

$\alpha,\beta\in[-1,1]$ かつ $\alpha+\beta=s$ より，一方が $1$ になるときに積が最小となる。したがって

$$ b_{\min}=1\cdot (s-1)=s-1 $$

である。

$a=-s$ を代入すると，この範囲では $a\in[-2,0]$ であり，

$$ b_{\min}=s-1=-a-1 $$

となる。

**(ii)**

$-2\le s\le 0$ のとき

同様に，一方が $-1$ になるときに積が最小となるから

$$ b_{\min}=(-1)\cdot (s+1)=-s-1 $$

である。

このとき $a=-s\in[0,2]$ であるから，

$$ b_{\min}=a-1 $$

となる。

以上をまとめると，求める領域は

$$ -2\le a\le 2,\qquad |a|-1\le b\le \frac{a^2}{4} $$

で表される。

したがって，$ab$ 平面では

$$ b=\frac{a^2}{4} $$

と

$$ b=|a|-1 $$

にはさまれた閉領域である。

次に，$a+2b$ の最大値・最小値を求める。

領域は閉じており，$a+2b$ は1次式であるから，最大値・最小値は境界でとる。

上側境界 $b=\dfrac{a^2}{4}$ 上

$$ a+2b=a+2\cdot \frac{a^2}{4}=a+\frac{a^2}{2} $$

である。これは上に凸の2次関数であり，$-2\le a\le 2$ で

$$ \min =-\frac12 \quad (a=-1),\qquad \max =4 \quad (a=2) $$

となる。

下側境界 $b=|a|-1$ 上

**(iii)**

$0\le a\le 2$ のとき

$$ a+2b=a+2(a-1)=3a-2 $$

より，

$$ \min=-2 \quad (a=0),\qquad \max=4 \quad (a=2) $$

である。

**(iv)**

$-2\le a\le 0$ のとき

$$ a+2b=a+2(-a-1)=-a-2 $$

より，

$$ \min=-2 \quad (a=0),\qquad \max=0 \quad (a=-2) $$

である。

以上より，全体で

$$ \max(a+2b)=4,\qquad \min(a+2b)=-2 $$

となる。

解説

解の条件が「実数解をもち，しかも各解が $[-1,1]$ に入る」という形なので，係数 $a,b$ を直接いじるよりも，解を $\alpha,\beta$ とおいて

$$ a=-(\alpha+\beta),\qquad b=\alpha\beta $$

と見るのが自然である。

この問題の本質は，$\alpha,\beta\in[-1,1]$ のとき，和と積がどの範囲を動くかを正確に押さえることにある。上側の境界 $b=\dfrac{a^2}{4}$ は重解 $\alpha=\beta$ の場合，下側の境界 $b=|a|-1$ は一方の解が $\pm1$ になる場合に対応している。

答え

**(1)**

条件を満たす点 $(a,b)$ 全体は

$$ -2\le a\le 2,\qquad |a|-1\le b\le \frac{a^2}{4} $$

で表される領域である。すなわち，$ab$ 平面において

$$ b=\frac{a^2}{4} $$

と

$$ b=|a|-1 $$

にはさまれた閉領域である。

**(2)**

$$ \max(a+2b)=4,\qquad \min(a+2b)=-2 $$

である。