解説

方針・初手

まず $\sin(xy)\ge \dfrac12$ を、$t=xy$ とおいて $t$ の範囲に直す。 この問題では $0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2$ であるから $0\le xy\le 4$ であり、その範囲で $\sin t\ge \dfrac12$ となる $t$ を調べれば、領域 $D$ は双曲線ではさまれた部分として表せる。

そのうえで （2） は、まず $x+y$ の取りうる範囲を求め、最後に $\sin(x+y)$ の最大・最小を判定すればよい。

解法1

$\sin(xy)\ge \dfrac12$ より、$t=xy$ とおくと

$$ \sin t\ge \frac12 $$

である。

ここで $0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2$ だから

$$ 0\le xy\le 4 $$

である。したがって $0\le t\le 4$ の範囲で $\sin t\ge \dfrac12$ を満たすのは

$$ \frac{\pi}{6}\le t\le \frac{5\pi}{6} $$

である。よって領域 $D$ は

$$ D=\left\{(x,y)\,\middle|\,0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2,\ \frac{\pi}{6}\le xy\le \frac{5\pi}{6}\right\} $$

である。

（1） 領域 $D$ の図示

これは第1象限の正方形 $0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2$ のうち、双曲線

$$ xy=\frac{\pi}{6},\qquad xy=\frac{5\pi}{6} $$

にはさまれた部分である。

すなわち

$$ y=\frac{\pi}{6x},\qquad y=\frac{5\pi}{6x} $$

の間で、さらに $0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2$ を満たす部分である。

境界を具体的に書くと、下側境界は

$$ y=\frac{\pi}{6x}\qquad \left(\frac{\pi}{12}\le x\le 2\right) $$

上側境界は、$x$ の範囲によって分かれ、

$$ y=2\qquad \left(\frac{\pi}{12}\le x\le \frac{5\pi}{12}\right) $$

および

$$ y=\frac{5\pi}{6x}\qquad \left(\frac{5\pi}{12}\le x\le 2\right) $$

である。また右端では

$$ x=2,\qquad \frac{\pi}{12}\le y\le \frac{5\pi}{12} $$

が境界となる。

したがって、点 $\left(\dfrac{\pi}{12},2\right)$ から始まり、上辺 $y=2$ を通って $\left(\dfrac{5\pi}{12},2\right)$ に至り、そこから双曲線 $xy=\dfrac{5\pi}{6}$ に沿って $\left(2,\dfrac{5\pi}{12}\right)$ に至る。さらに右辺 $x=2$ を下って $\left(2,\dfrac{\pi}{12}\right)$ に至り、最後に双曲線 $xy=\dfrac{\pi}{6}$ に沿って $\left(\dfrac{\pi}{12},2\right)$ に戻る部分が領域 $D$ である。

（2） $\sin(x+y)$ の最大値・最小値

まず $x+y$ の範囲を調べる。

最小値

$xy\ge \dfrac{\pi}{6}$ であるから、相加平均・相乗平均の関係より

$$ x+y\ge 2\sqrt{xy}\ge 2\sqrt{\frac{\pi}{6}}=\sqrt{\frac{2\pi}{3}} $$

となる。

等号は

$$ x=y=\sqrt{\frac{\pi}{6}} $$

のとき成立し、この点は確かに $D$ に含まれる。したがって

$$ x+y\ge \sqrt{\frac{2\pi}{3}} $$

であり、最小値は

$$ \sqrt{\frac{2\pi}{3}} $$

である。

最大値

$xy\le \dfrac{5\pi}{6}$ であり、かつ $0\le y\le 2$ だから、各 $x$ に対して

$$ y\le \min\left(2,\frac{5\pi}{6x}\right) $$

である。よって

$$ x+y\le x+\min\left(2,\frac{5\pi}{6x}\right) $$

となる。

ここで場合分けする。

**(i)**

$\dfrac{\pi}{12}\le x\le \dfrac{5\pi}{12}$ のとき

$$ \frac{5\pi}{6x}\ge 2 $$

であるから

$$ x+y\le x+2\le 2+\frac{5\pi}{12} $$

となる。

**(ii)**

$\dfrac{5\pi}{12}\le x\le 2$ のとき

$$ x+y\le x+\frac{5\pi}{6x} $$

である。ここで

$$ f(x)=x+\frac{5\pi}{6x} $$

とおくと、$f(x)$ は上の区間で凸であるから最大値は端点でとる。したがって

$$ f(x)\le \max\left\{f\left(\frac{5\pi}{12}\right),f(2)\right\} =2+\frac{5\pi}{12} $$

となる。

以上より

$$ x+y\le 2+\frac{5\pi}{12} $$

であり、等号は

$$ (x,y)=\left(2,\frac{5\pi}{12}\right),\ \left(\frac{5\pi}{12},2\right) $$

で成立する。

したがって

$$ \sqrt{\frac{2\pi}{3}}\le x+y\le 2+\frac{5\pi}{12} $$

である。

ここで

$$ \sqrt{\frac{2\pi}{3}}<\frac{\pi}{2}<2+\frac{5\pi}{12} $$

であり、例えば $x=y=\dfrac{\pi}{4}$ とすると $x+y=\dfrac{\pi}{2}$ かつ

$$ xy=\frac{\pi^2}{16} $$

であり

$$ \frac{\pi}{6}\le \frac{\pi^2}{16}\le \frac{5\pi}{6} $$

を満たすので、この点は $D$ に含まれる。よって

$$ \sin(x+y)=1 $$

は実際に達成でき、これが最大値である。

一方、

$$ 2+\frac{5\pi}{12}<\frac{3\pi}{2} $$

であるから、$\sin t$ は

$$ \frac{\pi}{2}\le t\le 2+\frac{5\pi}{12} $$

で単調減少する。したがって $\sin(x+y)$ の最小値は、$x+y$ が最大となるときに生じる。よって最小値は

$$ \sin\left(2+\frac{5\pi}{12}\right) $$

である。

解説

この問題の本質は、$\sin(xy)\ge \dfrac12$ をそのまま扱わず、まず $xy$ の範囲に直すことである。すると領域は「正方形の中で、2本の双曲線にはさまれた部分」という標準的な図形になる。

また （2） では、直接 $\sin(x+y)$ をいじるより、先に $x+y$ の最小値・最大値を求めるのが自然である。最小値は相加平均・相乗平均、最大値は境界 $xy=\dfrac{5\pi}{6}$ と $x\le 2,\ y\le 2$ を使って処理できる。最後に $\sin t$ の増減を見れば最大・最小が決まる。

答え

**(1)**

$$ D=\left\{(x,y)\,\middle|\,0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2,\ \frac{\pi}{6}\le xy\le \frac{5\pi}{6}\right\} $$

であり、第1象限の正方形 $0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2$ の中で、双曲線

$$ xy=\frac{\pi}{6},\qquad xy=\frac{5\pi}{6} $$

にはさまれた部分である。

**(2)**

$\sin(x+y)$ の最大値は

$$ 1 $$

最小値は

$$ \sin\left(2+\frac{5\pi}{12}\right) $$

である。