解説

方針・初手

3本の直線

$$ 4x+y=9,\qquad x+2y=4,\qquad 2x-3y=-6 $$

が囲む領域をまず求める。この領域は三角形になる。

そのうえで、$2x+y$ は一次式なので極値は頂点で調べればよい。$x^2+y^2$ は原点からの距離の二乗であるから、最大値は頂点で比較し、最小値は不等式を用いて求めるのが速い。

解法1

3直線の交点を求める。

まず

$$ \begin{cases} 4x+y=9\\ x+2y=4 \end{cases} $$

を解くと、

$$ x=2,\qquad y=1 $$

より、交点は $A(2,1)$ である。

次に

$$ \begin{cases} x+2y=4\\ 2x-3y=-6 \end{cases} $$

を解くと、

$$ x=0,\qquad y=2 $$

より、交点は $B(0,2)$ である。

さらに

$$ \begin{cases} 4x+y=9\\ 2x-3y=-6 \end{cases} $$

を解くと、

$$ x=\frac32,\qquad y=3 $$

より、交点は $C\left(\frac32,3\right)$ である。

したがって、点 $P(x,y)$ の動く範囲は三角形 $ABC$ である。

$2x+y$ の最大値と最小値

$2x+y$ は一次式であるから、三角形領域での最大値・最小値は頂点で生じる。各頂点での値を計算すると、

$$ \begin{aligned} A(2,1)&:\ 2x+y=5,\\ B(0,2)&:\ 2x+y=2,\\ C\left(\frac32,3\right)&:\ 2x+y=6 \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \max(2x+y)=6,\qquad \min(2x+y)=2 $$

となる。

$x^2+y^2$ の最大値

各辺上で $x^2+y^2$ は媒介変数について上に凸な二次式になるので、各辺での最大値は端点で生じる。したがって三角形全体でも頂点で比較すればよい。

各頂点で

$$ \begin{aligned} A(2,1)&:\ x^2+y^2=4+1=5,\\ B(0,2)&:\ x^2+y^2=4,\\ C\left(\frac32,3\right)&:\ x^2+y^2=\frac94+9=\frac{45}{4} \end{aligned} $$

となるから、

$$ \max(x^2+y^2)=\frac{45}{4} $$

である。

$x^2+y^2$ の最小値

領域内では常に

$$ x+2y\ge 4 $$

が成り立つ。ここで Cauchy-Schwarz の不等式より

$$ (x+2y)^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5(x^2+y^2) $$

であるから、

$$ 5(x^2+y^2)\ge (x+2y)^2\ge 16 $$

よって

$$ x^2+y^2\ge \frac{16}{5} $$

を得る。

等号成立条件を調べる。Cauchy-Schwarz の等号成立条件は $(x,y)$ が $(1,2)$ に比例するときである。さらに最小値をとるには $x+2y=4$ でも等号が必要だから、

$$ (x,y)=k(1,2),\qquad x+2y=4 $$

より

$$ k+4k=5k=4,\qquad k=\frac45 $$

したがって

$$ (x,y)=\left(\frac45,\frac85\right) $$

であり、この点は

$$ 4x+y=\frac{24}{5}\le 9,\qquad 2x-3y=-\frac{16}{5}\ge -6 $$

を満たすので、実際に領域内にある。

ゆえに

$$ \min(x^2+y^2)=\frac{16}{5} $$

である。

解説

一次式の極値は多角形領域では頂点を調べればよい。

一方、$x^2+y^2$ は原点からの距離の二乗である。最小値は「原点に最も近い点」を求める問題であり、条件 $x+2y\ge 4$ と Cauchy-Schwarz を組み合わせると一気に処理できる。最大値は三角形の頂点比較で足りる。

答え

$$ 2x+y\ \text{の最大値は}\ 6,\qquad \text{最小値は}\ 2 $$

$$ x^2+y^2\ \text{の最大値は}\ \frac{45}{4},\qquad \text{最小値は}\ \frac{16}{5} $$