解説

方針・初手

まず （1） は、絶対値を象限ごとに外して直線の集まりとして見る。

次に （2） は、条件 $y \geqq 0$ があるので $|x|+|y|=|x|+y$ である。さらに $a \geqq 0$ であることから、$x<0$ は不利であることを確認すると、結局 $x \geqq 0,\ y \geqq 0$ の範囲で $x+y$ の最小化に帰着できる。そこで、制約式の係数 $a,\ 2-a$ の大きい方に注目すればよい。

解法1

**(1)**

$t>0$ とする。

$|x|+|y|=t$ を各象限で見ると、

• 第1象限では $x+y=t$
• 第2象限では $-x+y=t$
• 第3象限では $-x-y=t$
• 第4象限では $x-y=t$

となる。

したがって、これは4本の線分からなる図形であり、その頂点は

$$ (t,0),\ (0,t),\ (-t,0),\ (0,-t) $$

である。

よって、原点を中心とするひし形の周である。

---

**(2)**

$x,\ y$ が

$$ \begin{cases} ax+(2-a)y \geqq 2,\\ y \geqq 0 \end{cases} $$

を満たすとする。このとき $|x|+|y|=|x|+y$ である。

ここで、もし $x<0$ なら、点 $(x,y)$ の代わりに $(0,y)$ を考えると、

$$ a\cdot 0 +(2-a)y \geqq ax+(2-a)y $$

であるから、$(0,y)$ も条件を満たす。また、

$$ |0|+y < |x|+y $$

である。したがって、最小値を与える点では $x<0$ は起こらない。

よって、最小値は $x \geqq 0,\ y \geqq 0$ の範囲で

$$ x+y $$

を最小にする問題に等しい。

このとき

$$ ax+(2-a)y \leqq \max\{a,2-a\}(x+y) $$

が成り立つ。実際、$x,y \geqq 0$ であるから、係数 $a,\ 2-a$ のうち大きい方で両方をまとめて評価できる。

一方、条件より

$$ ax+(2-a)y \geqq 2 $$

であるから、

$$ \max\{a,2-a\}(x+y)\geqq 2 $$

すなわち

$$ x+y \geqq \frac{2}{\max\{a,2-a\}} $$

を得る。したがって

$$ |x|+|y| \geqq \frac{2}{\max\{a,2-a\}} $$

である。

あとはこの下界が実際に達成されることを示せばよい。

**(i)**

$0 \leqq a \leqq 1$ のとき

このとき $\max{a,2-a}=2-a$ である。点

$$ \left(0,\ \frac{2}{2-a}\right) $$

をとると、

$$ a\cdot 0 +(2-a)\frac{2}{2-a}=2 $$

より条件を満たし、

$$ |0|+\left|\frac{2}{2-a}\right|=\frac{2}{2-a} $$

となる。よって

$$ m=\frac{2}{2-a}. $$

**(ii)**

$a \geqq 1$ のとき

このとき $\max{a,2-a}=a$ である。点

$$ \left(\frac{2}{a},\ 0\right) $$

をとると、

$$ a\frac{2}{a}+(2-a)\cdot 0=2 $$

より条件を満たし、

$$ \left|\frac{2}{a}\right|+|0|=\frac{2}{a} $$

となる。よって

$$ m=\frac{2}{a}. $$

以上より、

$$ m= \begin{cases} \dfrac{2}{2-a} & (0 \leqq a \leqq 1),\\[6pt] \dfrac{2}{a} & (a \geqq 1) \end{cases} $$

である。

---

**(3)**

（2） の結果より、

$$ m= \begin{cases} \dfrac{2}{2-a} & (0 \leqq a \leqq 1),\\[6pt] \dfrac{2}{a} & (a \geqq 1) \end{cases} $$

である。

$0 \leqq a \leqq 1$ では $\dfrac{2}{2-a}$ は増加し、$a \geqq 1$ では $\dfrac{2}{a}$ は減少する。したがって最大値は境目 $a=1$ のときにとる。

その値は

$$ m=2 $$

である。

解説

この問題の本質は、$|x|+|y|=\text{一定}$ が原点中心のひし形になることと、制約領域に最初に触れるひし形を考える点にある。

ただし （2） では、幾何的に図を追うよりも、まず $x<0$ が最小化に不利であることを切り捨てるのが重要である。そこまで行けば、あとは $x+y$ の最小化になり、制約式の係数 $a,\ 2-a$ の大きい方を使うだけで一気に処理できる。

答え

**(1)**

$|x|+|y|=t$ は、頂点

$$ (t,0),\ (0,t),\ (-t,0),\ (0,-t) $$

をもつひし形の周である。

**(2)**

$$ m= \begin{cases} \dfrac{2}{2-a} & (0 \leqq a \leqq 1),\\[6pt] \dfrac{2}{a} & (a \geqq 1) \end{cases} $$

である。

**(3)**

$m$ の最大値は

$$ 2 $$

であり、これは $a=1$ のときに達する。