解説

方針・初手

与式

$$ x^2-2x+y^2 $$

は平方完成すると

$$ x^2-2x+y^2=(x-1)^2+y^2-1 $$

となる。したがって、これは点 $(x,y)$ と点 $(1,0)$ との距離の2乗から $1$ を引いたものである。

まず領域 $D$ の形を確認し、そのうえで点 $(1,0)$ から最も近い点と最も遠い点を調べればよい。

解法1

3本の境界線は

$$ x-2y+3=0,\qquad x+y-9=0,\qquad 2x-y=0 $$

である。

それぞれの交点を求める。

$x-2y+3=0$ と $2x-y=0$ の交点は、$y=2x$ を代入して

$$ x-4x+3=0 $$

より

$$ x=1,\quad y=2 $$

である。

$x+y-9=0$ と $2x-y=0$ の交点は、$y=2x$ を代入して

$$ x+2x-9=0 $$

より

$$ x=3,\quad y=6 $$

である。

$x-2y+3=0$ と $x+y-9=0$ の交点は、$y=9-x$ を代入して

$$ x-2(9-x)+3=0 $$

より

$$ 3x-15=0 $$

となるから

$$ x=5,\quad y=4 $$

である。

したがって、領域 $D$ は頂点

$$ (1,2),\ (3,6),\ (5,4) $$

をもつ三角形である。

次に

$$ f(x,y)=x^2-2x+y^2=(x-1)^2+y^2-1 $$

とおく。

最小値

$f(x,y)$ は点 $(1,0)$ からの距離の2乗から $1$ を引いたものであるから、最小値は点 $(1,0)$ に最も近い点でとる。

まず頂点での値を調べると、

$$ f(1,2)=1-2+4=3 $$

$$ f(3,6)=9-6+36=39 $$

$$ f(5,4)=25-10+16=31 $$

である。

さらに各辺上で本当にこれより小さくならないかを確認する。

（i） 辺 $y=2x\ (1\leqq x\leqq 3)$ 上では

$$ f(x,2x)=x^2-2x+4x^2=5x^2-2x $$

であり、

$$ \frac{d}{dx}(5x^2-2x)=10x-2>0\qquad (1\leqq x\leqq 3) $$

だから、この辺上では $x=1$ のとき最小である。よって最小値は $3$ である。

（ii） 辺 $y=\dfrac{x+3}{2}\ (1\leqq x\leqq 5)$ 上では

$$ f\left(x,\frac{x+3}{2}\right) =x^2-2x+\left(\frac{x+3}{2}\right)^2 =\frac54x^2-\frac12x+\frac94 $$

であり、

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac54x^2-\frac12x+\frac94\right) =\frac52x-\frac12>0\qquad (1\leqq x\leqq 5) $$

だから、この辺上でも $x=1$ のとき最小であり、その値は $3$ である。

（iii） 辺 $y=9-x\ (3\leqq x\leqq 5)$ 上では

$$ f(x,9-x)=x^2-2x+(9-x)^2=2x^2-20x+81 $$

であり、

$$ \frac{d}{dx}(2x^2-20x+81)=4x-20\leqq 0\qquad (3\leqq x\leqq 5) $$

だから、この辺上での最小値は $x=5$ のとき $31$ である。

以上より、領域 $D$ 全体での最小値は

$$ 3 $$

であり、そのとき

$$ (x,y)=(1,2) $$

である。

最大値

各辺上の式を用いる。

（i） 辺 $y=2x\ (1\leqq x\leqq 3)$ 上では

$$ f(x,2x)=5x^2-2x $$

であり、これは単調増加だから最大は $x=3$ のときで

$$ f(3,6)=39 $$

である。

（ii） 辺 $y=\dfrac{x+3}{2}\ (1\leqq x\leqq 5)$ 上では

$$ f\left(x,\frac{x+3}{2}\right)=\frac54x^2-\frac12x+\frac94 $$

も単調増加だから最大は $x=5$ のときで

$$ f(5,4)=31 $$

である。

（iii） 辺 $y=9-x\ (3\leqq x\leqq 5)$ 上では

$$ f(x,9-x)=2x^2-20x+81 $$

であり、$3\leqq x\leqq 5$ では単調減少だから最大は $x=3$ のときで

$$ f(3,6)=39 $$

である。

したがって、領域 $D$ 全体での最大値は

$$ 39 $$

であり、そのとき

$$ (x,y)=(3,6) $$

である。

解説

平方完成して

$$ x^2-2x+y^2=(x-1)^2+y^2-1 $$

と見るのが本問の要点である。これにより、問題は「領域 $D$ 上で点 $(1,0)$ からの距離が最小・最大となる点を求める問題」に言い換えられる。

ただし、距離の見方だけで結論を急がず、三角形の各辺上で式を1変数にして単調性を確認すると、最大値・最小値を確実に判定できる。特に最小値は、垂線の足が辺の内部に落ちるとは限らないので、辺上での確認が重要である。

答え

最小値は

$$ 3 $$

であり、そのとき

$$ (x,y)=(1,2) $$

である。

最大値は

$$ 39 $$

であり、そのとき

$$ (x,y)=(3,6) $$

である。