解説

方針・初手

放物線 $y=-x^2+16$ の接線の傾きは、$x=a$ において $-2a$ である。したがって、点 $A(a,b)$ を通り傾きが $-2a$ の直線は、この放物線の接線と平行な直線になる。

まず （1） では領域 $D,E$ の形を正確に把握する。つぎに （2） では、直線と放物線の交点を求め、両者の差を積分して面積 $S(a,b)$ を出す。最後に （3） では、$E$ の中で $b$ の最小値を調べればよい。

解法1

（1） 領域 $D,E$ の図示

領域 $D$ は

$$ y<-x^2+16 $$

で表されるから、頂点が $(0,16)$ で、下に開く放物線 $y=-x^2+16$ の下側の部分である。境界の放物線そのものは含まない。

領域 $E$ は

$$ |x-1|+|y|\leqq 1 $$

で表される。これは中心が $(1,0)$ のひし形であり、頂点は

$$ (0,0),\ (1,1),\ (2,0),\ (1,-1) $$

である。

実際、

• $x\leqq 1$ では $|x-1|=1-x$ だから $|y|\leqq x$
• $x\geqq 1$ では $|x-1|=x-1$ だから $|y|\leqq 2-x$

となるので、辺は

$$ y=x \quad (0\leqq x\leqq 1),\qquad y=-x+2 \quad (1\leqq x\leqq 2), $$

およびその $x$ 軸対称の2本である。

なお、$E$ の各点は $0\leqq x\leqq 2,\ -1\leqq y\leqq 1$ を満たすが、この範囲では

$$ -y+x^2 \leqq 1+4=5<16 $$

より常に $y<-x^2+16$ であるから、$E\subset D$ である。

（2） 面積 $S(a,b)$ を求める

点 $A(a,b)$ を通り、傾きが $-2a$ の直線を $l$ とすると、

$$ l:\ y-b=-2a(x-a) $$

すなわち

$$ y=-2ax+a^2+b $$

である。

この直線と放物線 $y=-x^2+16$ との交点の $x$ 座標は

$$ -x^2+16=-2ax+a^2+b $$

を解いて求まる。整理すると

$$ x^2-2ax+a^2+b-16=0 $$

すなわち

$$ (x-a)^2=16-b $$

であるから、

$$ x=a\pm \sqrt{16-b} $$

となる。

ここで、$A(a,b)\in D$ だから

$$ b<-a^2+16\leqq 16 $$

より $16-b>0$ であり、確かに2点で交わる。

したがって、求める面積は

$$ S(a,b)=\int_{a-\sqrt{16-b}}^{a+\sqrt{16-b}} \left\{(-x^2+16)-(-2ax+a^2+b)\right\},dx $$

である。

被積分関数を整理すると

$$ (-x^2+16)-(-2ax+a^2+b) =16-b-(x-a)^2 $$

となる。ここで

$$ t=x-a,\qquad r=\sqrt{16-b} $$

とおくと、

$$ S(a,b)=\int_{-r}^{r}(r^2-t^2),dt $$

となるので、

$$ \begin{aligned} S(a,b) &=\left[r^2t-\frac{t^3}{3}\right]_{-r}^{r} \\ &=\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)-\left(-r^3+\frac{r^3}{3}\right) \\ &=\frac{4}{3}r^3 \\ &=\frac{4}{3}(16-b)^{3/2} \end{aligned} $$

よって

$$ S(a,b)=\frac{4}{3}(16-b)^{3/2} $$

である。

**(3)**

$S(a,b)$ の最大値

（2） より、$S(a,b)$ は $b$ のみで決まり、

$$ S(a,b)=\frac{4}{3}(16-b)^{3/2} $$

である。これは $b$ が小さいほど大きい。

したがって、領域 $E$ 内で $b$ が最小となる点を求めればよい。ひし形 $E$ の最下点は

$$ (1,-1) $$

であるから、$b_{\min}=-1$ である。

よって最大値は

$$ S_{\max}=\frac{4}{3}(16-(-1))^{3/2} =\frac{4}{3}\cdot 17^{3/2} =\frac{68\sqrt{17}}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は、傾き $-2a$ という条件が「放物線 $y=-x^2+16$ の $x=a$ における接線と平行」であることを見抜く点にある。

そのため、直線と放物線の差が

$$ 16-b-(x-a)^2 $$

という形にまとまり、面積が $a$ に依存せず $b$ のみで決まる。ここまで見えると、（3） は領域 $E$ で $b$ を最小にする点を探すだけになる。

答え

**(1)**

$D$ は放物線 $y=-x^2+16$ の下側の領域であり、境界は含まない。

$E$ は頂点 $(0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)$ をもつひし形であり、境界を含む。

**(2)**

$$ S(a,b)=\frac{4}{3}(16-b)^{3/2} $$

**(3)**

$$ \max S(a,b)=\frac{68\sqrt{17}}{3} $$

であり、そのとき $A=(1,-1)$ である。