解説

方針・初手

まず不等式を $t=|x-y|$ とおいて見ると、

$$ (t-2)(t-4)\leqq 0 $$

であるから、$t$ の範囲を求めれば領域 $D$ の意味がすぐ分かる。

次に、円 $x^2+y^2=r^2$ が $D$ と共有点をもつ条件は、円周上で $|x-y|$ が $2$ 以上 $4$ 以下となる点が存在する条件に言い換える。

解法1

$t=|x-y|$ とおくと、与えられた不等式は

$$ (t-2)(t-4)\leqq 0 $$

となる。

2次不等式より、

$$ 2\leqq t\leqq 4 $$

したがって、

$$ 2\leqq |x-y|\leqq 4 $$

である。

これを絶対値を外して書けば、

$$ 2\leqq x-y\leqq 4 \quad \text{または} \quad -4\leqq x-y\leqq -2 $$

となる。

よって領域 $D$ は、直線

$$ x-y=2,\ x-y=4,\ x-y=-2,\ x-y=-4 $$

すなわち

$$ y=x-2,\ y=x-4,\ y=x+2,\ y=x+4 $$

にはさまれた2つの帯状の閉領域である。

具体的には、

$$ D={(x,y)\mid 2\leqq x-y\leqq 4}\cup {(x,y)\mid -4\leqq x-y\leqq -2} $$

である。

次に、円 $x^2+y^2=r^2$ が $D$ と共有点をもつ条件を調べる。

円周上の点 $(x,y)$ に対して、$|x-y|$ の最大値を求める。Cauchy-Schwarz の不等式より、

$$ |x-y| =|x\cdot 1+y\cdot(-1)| \leqq \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{1^2+(-1)^2} =r\sqrt{2} $$

である。

しかも等号は $(x,y)$ が $(1,-1)$ 方向またはその反対方向にあるときに成り立つので、円周上で $|x-y|$ は $0$ から $\sqrt{2}r$ までの値をとる。

したがって、円が領域 $D$ と共有点をもつための必要十分条件は、

$$ [0,\sqrt{2}r] $$

と

$$ [2,4] $$

が共通部分をもつことである。よって

$$ \sqrt{2}r\geqq 2 $$

すなわち

$$ r\geqq \sqrt{2} $$

となる。

解説

この問題の本質は、$|x-y|$ が一定である点の集合が、傾き $1$ の平行な直線になることである。したがって $2\leqq |x-y|\leqq 4$ は、4本の平行線にはさまれた2本の帯として解釈できる。

また、円との共有点は「円周上で $|x-y|$ がどこまで大きくなれるか」を見ればよい。$|x-y|$ の最大値が $\sqrt{2}r$ になることを押さえれば、条件は一気に整理できる。

答え

**(1)**

$$ D={(x,y)\mid 2\leqq |x-y|\leqq 4} $$

であり、

$$ D={(x,y)\mid 2\leqq x-y\leqq 4}\cup {(x,y)\mid -4\leqq x-y\leqq -2} $$

である。

すなわち、直線 $y=x-2,\ y=x-4$ にはさまれた帯と、直線 $y=x+2,\ y=x+4$ にはさまれた帯の2つである。

**(2)**

$$ r\geqq \sqrt{2} $$

である。