解説

方針・初手

まず

$$ u=x-3,\quad v=y-3 $$

とおくと，領域 $D$ は

$$ |u|+|v|\leqq 2 $$

で表される。したがって，$D$ は中心が $(3,3)$，頂点が $(1,3),(3,1),(5,3),(3,5)$ のひし形である。

この図形の頂点を押さえておくと，**線形関数の最大値**，**距離の最大値**，**傾きの範囲**が処理しやすくなる。

解法1

（1） 領域 $D$ の図形

境界は

$$ |x-3|+|y-3|=2 $$

であり，場合分けすると4本の直線

$$ \begin{aligned} x+y&=4,\\ x-y&=2,\\ -x+y&=2,\\ x+y&=8 \end{aligned} $$

からなる。

したがって，領域 $D$ は頂点

$$ (1,3),\ (3,1),\ (5,3),\ (3,5) $$

をもつひし形である。

また，$x$ の範囲ごとに書けば

$$ \begin{cases} 1\leqq x\leqq 3 &\text{のとき } -x+4\leqq y\leqq x+2,\\ 3\leqq x\leqq 5 &\text{のとき } x-2\leqq y\leqq -x+8 \end{cases} $$

である。

**(2)**

$2x+y$ の最大値

$u=x-3,\ v=y-3$ とおくと

$$ 2x+y=2(u+3)+(v+3)=2u+v+9 $$

である。

ここで $|u|+|v|\leqq 2$ より

$$ 2u+v\leqq 2|u|+|v|\leqq 2(|u|+|v|)\leqq 4 $$

となるから，

$$ 2x+y\leqq 13 $$

である。

等号が成り立つには

$$ u=2,\quad v=0 $$

であればよい。したがって

$$ x=5,\quad y=3 $$

のとき最大となる。

よって最大値は

$$ 13 $$

である。

**(3)**

$x^2+y^2-4x-2y$ の最大値

平方完成すると

$$ x^2+y^2-4x-2y=(x-2)^2+(y-1)^2-5 $$

となる。

したがって，これは点 $(x,y)$ と点 $(2,1)$ との距離の2乗から $5$ を引いたものである。ゆえに，この式を最大にするには，点 $(2,1)$ から最も遠い $D$ 上の点を求めればよい。

$D$ はひし形であり，各辺上では $(x-2)^2+(y-1)^2$ は媒介変数について上に凸な2次関数になるので，最大値は頂点で調べれば十分である。

各頂点での値を調べると，

$$ \begin{aligned} (1,3)&:\ 1+9-4-6=0,\\ (3,1)&:\ 9+1-12-2=-4,\\ (5,3)&:\ 25+9-20-6=8,\\ (3,5)&:\ 9+25-12-10=12 \end{aligned} $$

となる。

よって最大値は

$$ 12 $$

であり，そのとき

$$ x=3,\quad y=5 $$

である。

**(4)**

$\dfrac{y-1}{x+2}$ の取り得る値の範囲

まず，領域 $D$ では $1\leqq x\leqq 5$ であるから

$$ x+2>0 $$

である。したがって分母は常に正である。

いま

$$ t=\frac{y-1}{x+2} $$

とおく。

まず，$D$ では $y\geqq 1$ であるから

$$ t\geqq 0 $$

である。実際，点 $(3,1)$ では

$$ t=\frac{1-1}{3+2}=0 $$

となるので，$0$ はとり得る。

次に上限を求める。$x+2>0$ なので，

$$ t\leqq \frac45 $$

は

$$ 5(y-1)\leqq 4(x+2) $$

すなわち

$$ 5y-4x\leqq 13 $$

と同値である。

ここで $5y-4x$ は $x,y$ の一次式であるから，ひし形 $D$ 上での最大値は頂点でとる。各頂点で調べると，

$$ \begin{aligned} (1,3)&:\ 15-4=11,\\ (3,1)&:\ 5-12=-7,\\ (5,3)&:\ 15-20=-5,\\ (3,5)&:\ 25-12=13 \end{aligned} $$

より，確かに

$$ 5y-4x\leqq 13 $$

である。よって

$$ t\leqq \frac45 $$

となる。しかも点 $(3,5)$ では

$$ t=\frac{5-1}{3+2}=\frac45 $$

となるので，$\dfrac45$ もとり得る。

さらに，線分 $x=3$ 上では $1\leqq y\leqq 5$ だから，

$$ t=\frac{y-1}{5} $$

は $0$ から $\dfrac45$ までのすべての値をとる。

したがって，求める範囲は

$$ 0\leqq \frac{y-1}{x+2}\leqq \frac45 $$

である。

解説

この問題の要点は，領域

$$ |x-3|+|y-3|\leqq 2 $$

を，中心 $(3,3)$ のひし形として正確に把握することである。

（2） は一次式の最大値なので，頂点で極値をとることを使ってもよいし，平行移動して

$$ |u|+|v|\leqq 2 $$

の形に直して評価してもよい。

（3） は平方完成して「ある点からの距離の2乗」に直すのが基本である。式変形だけでなく，図形的意味を読むことが重要である。

（4） は比の問題であるが，$\dfrac{y-1}{x+2}$ を「点 $(-2,1)$ と $(x,y)$ を結ぶ直線の傾き」と見ると見通しがよい。下限・上限を与える直線を押さえると，範囲が自然に決まる。

答え

**(1)**

領域 $D$ は頂点

$$ (1,3),\ (3,1),\ (5,3),\ (3,5) $$

をもつひし形である。

**(2)**

$2x+y$ の最大値は

$$ 13 $$

であり，そのとき

$$ (x,y)=(5,3) $$

である。

**(3)**

$x^2+y^2-4x-2y$ の最大値は

$$ 12 $$

であり，そのとき

$$ (x,y)=(3,5) $$

である。

**(4)**

$$ 0\leqq \frac{y-1}{x+2}\leqq \frac45 $$

である。