解説

方針・初手

まず

$$ y=|x-1|+|x-2|+|x-3| $$

を区間ごとに絶対値を外し、$C_1$ を折れ線として捉える。

次に、円 $C_2$ の中心 $(5,3)$ から $C_1$ 上の点までの距離を区間ごとに調べる。すると、（2） は距離の最小値・最大値の問題になり、（3） は同じ距離になる点の個数の問題になる。

解法1

（1） まず $C_1$ を求める。

$x$ の範囲ごとに絶対値を外すと、

$$ y= \begin{cases} (1-x)+(2-x)+(3-x)=6-3x & (0\le x\le 1),\\ (x-1)+(2-x)+(3-x)=4-x & (1\le x\le 2),\\ (x-1)+(x-2)+(3-x)=x & (2\le x\le 3),\\ (x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6 & (3\le x\le 4) \end{cases} $$

となる。

したがって $C_1$ は

$$ (0,6)\to(1,3)\to(2,2)\to(3,3)\to(4,6) $$

を結ぶ折れ線である。

---

**(2)**

$C_2$ の中心は $(5,3)$ であるから、$C_1$ 上の点 $(x,y)$ に対して

$$ r^2=(x-5)^2+(y-3)^2 $$

を考えればよい。

**(i)**

$0\le x\le 1$ のとき $y=6-3x$ より、

$$ r^2=(x-5)^2+(6-3x-3)^2 =(x-5)^2+9(1-x)^2 =10x^2-28x+34 $$

である。これはこの区間で単調減少なので、

$$ 16\le r^2\le 34 $$

となる。

**(ii)**

$1\le x\le 2$ のとき $y=4-x$ より、

$$ r^2=(x-5)^2+(1-x)^2 =2x^2-12x+26 =2(x-3)^2+8 $$

である。したがってこの区間では

$$ 10\le r^2\le 16 $$

となる。

**(iii)**

$2\le x\le 3$ のとき $y=x$ より、

$$ r^2=(x-5)^2+(x-3)^2 =2x^2-16x+34 =2(x-4)^2+2 $$

である。よってこの区間では

$$ 4\le r^2\le 10 $$

となる。

**(iv)**

$3\le x\le 4$ のとき $y=3x-6$ より、

$$ r^2=(x-5)^2+(3x-9)^2 =10x^2-64x+106 =10\left(x-\frac{16}{5}\right)^2+\frac{18}{5} $$

である。したがってこの区間での最小値は

$$ r^2=\frac{18}{5} $$

であり、そのとき

$$ x=\frac{16}{5},\qquad y=3\cdot\frac{16}{5}-6=\frac{18}{5} $$

である。

以上より、$C_1$ 上での距離の最小値・最大値は

$$ r_{\min}=\sqrt{\frac{18}{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{5},\qquad r_{\max}=\sqrt{34} $$

である。

よって、円 $C_2$ が $C_1$ と共有点をもつための $r$ の範囲は

$$ \frac{3\sqrt{10}}{5}\le r\le \sqrt{34} $$

である。

---

**(3)**

$C_1$ の右側の枝、すなわち $(2,2)$ から $(4,6)$ までの折れ線に注目する。

この枝上で、中心 $(5,3)$ からの距離は

• $(2,2)$ で $\sqrt{10}$、
• $\left(\dfrac{16}{5},\dfrac{18}{5}\right)$ で最小 $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$、
• $(4,6)$ で再び $\sqrt{10}$

となる。

したがって、$C_1$ と $C_2$ がちょうど $2$ 個の共有点をもつのは

$$ \frac{3\sqrt{10}}{5}<r\le \sqrt{10} $$

のときである。

ここで、$r$ を大きくすると、中心 $(5,3)$ をもつ円板は広がる。したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分も単調に広がるので、その面積は $r$ が最大のときに最大となる。

よって、面積が最大となるのは

$$ r=\sqrt{10} $$

のときである。

このとき共有点を求める。

**(i)**

$2\le x\le 3$ では $y=x$ だから、

$$ (x-5)^2+(x-3)^2=10 $$

より

$$ 2x^2-16x+24=0 $$

すなわち

$$ x^2-8x+12=0 $$

であるから、

$$ x=2,\ 6 $$

を得る。この区間に入るのは $x=2$ のみなので、1つの共有点は

$$ (2,2) $$

である。

**(ii)**

$3\le x\le 4$ では $y=3x-6$ だから、

$$ (x-5)^2+(3x-9)^2=10 $$

より

$$ 10x^2-64x+96=0 $$

すなわち

$$ 5x^2-32x+48=0 $$

である。これを解くと

$$ x=\frac{32\pm 8}{10}=4,\ \frac{12}{5} $$

となる。この区間に入るのは $x=4$ のみなので、もう1つの共有点は

$$ (4,6) $$

である。

解説

この問題の核心は、$|x-a|$ の和を**折れ線**として見ることである。

すると （2） は「点 $(5,3)$ から折れ線 $C_1$ までの距離の最小値・最大値」、（3） は「その距離が同じになる点が何個あるか」という見方に変わる。

特に （3） では、$C_1$ の右側の枝で距離が

$$ \sqrt{10}\to \frac{3\sqrt{10}}{5}\to \sqrt{10} $$

と変化するので、半径 $r$ を大きくするほど共有点が離れていき、囲まれる部分も広がる。この単調性を押さえるのが重要である。

答え

**(1)**

$$ y= \begin{cases} 6-3x & (0\le x\le 1),\\ 4-x & (1\le x\le 2),\\ x & (2\le x\le 3),\\ 3x-6 & (3\le x\le 4) \end{cases} $$

したがって $C_1$ は

$$ (0,6)\to(1,3)\to(2,2)\to(3,3)\to(4,6) $$

を結ぶ折れ線である。

**(2)**

円 $C_2$ が $C_1$ と共有点をもつための $r$ の範囲は

$$ \frac{3\sqrt{10}}{5}\le r\le \sqrt{34} $$

である。

**(3)**

面積が最大となるのは

$$ r=\sqrt{10} $$

のときであり、そのときの2つの共有点は

$$ (2,2),\ (4,6) $$

である。