解説

方針・初手

平方完成して2つの円として見る。(1) の領域を $D$ とおくと，$D$ は「中心 $(2,0)$，半径 $2$ の円の内部」と「中心 $(0,-1)$，半径 $1$ の円の外部」の共通部分である。

(2) は，直線 $x+y=k$ が $D$ と共有点をもつことと，$D$ 上で $x+y$ が値 $k$ をとることが同値であるから，$x+y$ の最小値と最大値を求めればよい。

解法1

**(1)**

平方完成すると，

$$ x^2+y^2-4x\leqq 0 \iff (x-2)^2+y^2\leqq 4 $$

$$ x^2+y^2+2y\geqq 0 \iff x^2+(y+1)^2\geqq 1 $$

となる。

したがって求める領域 $D$ は，中心 $(2,0)$，半径 $2$ の円の内部にあり，かつ中心 $(0,-1)$，半径 $1$ の円の外部にある部分である。

2つの円の交点も求めておく。両方の境界を連立すると，

$$ \begin{cases} x^2+y^2-4x=0\\ x^2+y^2+2y=0 \end{cases} $$

より，

$$ -4x=2y $$

すなわち

$$ y=-2x $$

である。これを $x^2+y^2-4x=0$ に代入すると，

$$ x^2+4x^2-4x=0 $$

$$ x(5x-4)=0 $$

となるから，

$$ x=0,\ \frac45 $$

である。したがって交点は

$$ (0,0),\ \left(\frac45,-\frac85\right) $$

である。

ゆえに図示すべき領域は，円 $(x-2)^2+y^2=4$ の内部から，円 $x^2+(y+1)^2=1$ の内部と重なる部分を除いた領域であり，境界は上の2点を結ぶ2つの円弧からなる。

**(2)**

$f(x,y)=x+y$ とおく。$D$ は閉じた有界領域であるから，$f$ は $D$ 上で最小値・最大値をもつ。

まず円 $(x-2)^2+y^2=4$ 上での $f$ を考える。このとき

$$ x+y=2+{(x-2)+y} $$

であり，ベクトル $\bigl(x-2,\ y\bigr)$ の長さは $2$ であるから，

$$ -2\sqrt2\leqq (x-2)+y\leqq 2\sqrt2 $$

となる。よって

$$ 2-2\sqrt2\leqq x+y\leqq 2+2\sqrt2 $$

であり，等号はそれぞれ

$$ (2-\sqrt2,-\sqrt2),\ (2+\sqrt2,\sqrt2) $$

で成り立つ。

このうち $(2-\sqrt2,-\sqrt2)$ については

$$ x^2+y^2+2y=8-6\sqrt2<0 $$

となり，$D$ には属さない。一方，

$$ (2+\sqrt2,\sqrt2) $$

では第2不等式も満たすので，$D$ 上での最大値は

$$ 2+2\sqrt2 $$

である。

次に円 $x^2+(y+1)^2=1$ 上での $f$ を考える。このとき

$$ x+y=-1+{x+(y+1)} $$

であり，ベクトル $\bigl(x,\ y+1\bigr)$ の長さは $1$ であるから，

$$ -1-\sqrt2\leqq x+y\leqq -1+\sqrt2 $$

となる。等号はそれぞれ

$$ \left(-\frac1{\sqrt2},-1-\frac1{\sqrt2}\right),\ \left(\frac1{\sqrt2},-1+\frac1{\sqrt2}\right) $$

で成り立つ。

しかし最小値を与える点

$$ \left(-\frac1{\sqrt2},-1-\frac1{\sqrt2}\right) $$

では

$$ x^2+y^2-4x=2+3\sqrt2>0 $$

となり，これは $D$ に属さない。したがって，円 $x^2+(y+1)^2=1$ 上で $D$ に含まれる弧の上では，$x+y$ の最小値は端点で生じる。端点は先に求めた交点

$$ (0,0),\ \left(\frac45,-\frac85\right) $$

であり，それぞれ

$$ x+y=0,\ -\frac45 $$

であるから，この弧上での最小値は

$$ -\frac45 $$

である。

以上より，領域 $D$ 全体で

$$ -\frac45\leqq x+y\leqq 2+2\sqrt2 $$

である。

したがって直線 $x+y=k$ が $D$ と共有点をもつための条件は

$$ -\frac45\leqq k\leqq 2+2\sqrt2 $$

である。

解説

(1) は平方完成によって円の内部・外部の問題に直すのが基本である。2つの円の位置関係をつかむために，交点を出しておくと図が描きやすい。

(2) は「直線 $x+y=k$」を，傾き $-1$ の平行な直線の族として見るとよい。共有点をもつかどうかは，領域上で $x+y$ がどこまで小さく，どこまで大きくなれるかに言い換えられる。円の上での $x+y$ の極値は，中心から方向 $(1,1)$ に最も遠い点・近い点で決まるが，その点が実際に領域に含まれるかどうかを必ず確認することが重要である。

答え

**(1)**

$$ (x-2)^2+y^2\leqq 4,\qquad x^2+(y+1)^2\geqq 1 $$

より，求める領域は「中心 $(2,0)$，半径 $2$ の円の内部」と「中心 $(0,-1)$，半径 $1$ の円の外部」の共通部分である。2円の交点は

$$ (0,0),\ \left(\frac45,-\frac85\right) $$

である。

**(2)**

$$ -\frac45\leqq k\leqq 2+2\sqrt2 $$

である。