解説

方針・初手

$$ x^2+(y-3)^2 $$

は点 $(x,y)$ と点 $(0,3)$ との距離の二乗である。したがって，条件を満たす点の動く領域を図形として把握し，その領域内で点 $(0,3)$ からの距離の最大・最小を考えればよい。

まず，3本の直線

$$ y=2x-5,\quad y=x-1,\quad y=0 $$

の交点を調べ，領域の形を確定する。

解法1

条件

$$ y\geqq 2x-5,\quad y\leqq x-1,\quad y\geqq 0 $$

を満たす領域を考える。

直線どうしの交点は，

$$ \begin{aligned} y=0,\ y=x-1&\Rightarrow x=1 \Rightarrow (1,0),\\ y=0,\ y=2x-5&\Rightarrow x=\frac52 \Rightarrow \left(\frac52,0\right),\\ y=x-1,\ y=2x-5&\Rightarrow x=4,\ y=3 \Rightarrow (4,3) \end{aligned} $$

である。

よって，条件を満たす点 $(x,y)$ の領域は，頂点

$$ (1,0),\quad \left(\frac52,0\right),\quad (4,3) $$

をもつ三角形である。

ここで

$$ x^2+(y-3)^2 $$

は点 $(x,y)$ から点 $(0,3)$ までの距離の二乗であるから，この三角形上で点 $(0,3)$ からの距離の最大・最小を調べればよい。

最小値から考える。

点 $(0,3)$ から辺 $y=x-1$ へ下ろした垂線の足が，その辺上にあれば，最短距離はその垂線の長さになる。直線 $y=x-1$ を

$$ x-y-1=0 $$

とおくと，点 $(0,3)$ からこの直線までの距離は

$$ \begin{aligned} \frac{|0-3-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} &= \frac{4}{\sqrt2} \\ 2\sqrt2 \end{aligned} $$

である。

したがって，距離の二乗の最小値は

$$ (2\sqrt2)^2=8 $$

である。

実際，垂線の足は $y=x-1$ 上で $(2,1)$ となり，これは辺 $(1,0)$ と $(4,3)$ を結ぶ線分上にあるので，この最小値は実現する。

次に最大値を考える。

三角形の各辺上では，距離の二乗は1変数の2次関数となるので，その最大値は各辺の端点で生じる。したがって三角形全体での最大値も頂点で調べればよい。

各頂点での値は，

$$ \begin{aligned} (1,0)&:\ 1^2+(0-3)^2=1+9=10,\\ \left(\frac52,0\right)&:\ \left(\frac52\right)^2+(0-3)^2=\frac{25}{4}+9=\frac{61}{4},\\ (4,3)&:\ 4^2+(3-3)^2=16. \end{aligned} $$

よって最大値は

$$ 16 $$

である。

解説

この問題の本質は，式

$$ x^2+(y-3)^2 $$

を「点 $(0,3)$ からの距離の二乗」と見ることである。すると，最大・最小の問題が座標平面上の図形問題に変わる。

最小値は「点から領域への最短距離」であり，辺への垂線を考えるのが基本である。最大値は，三角形のような凸多角形では頂点を調べれば足りる。

答え

最大値は

$$ 16 $$

最小値は

$$ 8 $$

である。