解説

方針・初手

$2^x,\ 3^y$ を新しい文字でおくと，条件式は平方完成によって円の内部の条件に直せる。

そのうえで，求める $2^x+3^y$ は平面上では一次式になるので，円と直線 $u+v=\text{一定}$ の位置関係として考えるのが自然である。

解法1

$$ u=2^x,\quad v=3^y $$

とおくと，$u>0,\ v>0$ であり，条件は

$$ u^2-4u+v^2-2v\le -1 $$

である。

これを平方完成すると，

$$ (u-2)^2-4+(v-1)^2-1\le -1 $$

すなわち

$$ (u-2)^2+(v-1)^2\le 4 $$

となる。

したがって，点 $(u,v)$ は中心 $(2,1)$，半径 $2$ の円の内部または周上にあり，さらに $u>0,\ v>0$ を満たす。

求めるのは

$$ u+v=2^x+3^y $$

の範囲である。

最大値

$$ u+v=((u-2)+(v-1))+3 $$

より，Cauchy-Schwarz の不等式を用いると

$$ (u-2)+(v-1)\le \sqrt{1^2+1^2}\sqrt{(u-2)^2+(v-1)^2} \le \sqrt2\cdot 2=2\sqrt2 $$

である。したがって

$$ u+v\le 3+2\sqrt2 $$

を得る。

等号成立条件は

$$ u-2=v-1=\sqrt2 $$

であり，このとき

$$ u=2+\sqrt2,\quad v=1+\sqrt2 $$

となって確かに条件を満たす。よって最大値は

$$ 3+2\sqrt2 $$

である。

最小値

円全体で $u+v$ を最小にする点は，直線 $u+v=\text{一定}$ を左下へ平行移動して最初に円に接するときである。

ただし，その接点は

$$ (2-\sqrt2,\ 1-\sqrt2) $$

となり，第1象限に入らない。実際，$1-\sqrt2<0$ であるから，これは $v>0$ に反する。

そこで，許される範囲

$$ (u-2)^2+(v-1)^2\le 4,\quad u>0,\ v>0 $$

の中で下側を調べる。

$u+v$ を小さくするには $v$ をできるだけ小さくしたいが，$v=3^y>0$ なので $v=0$ はとれない。そこで境界 $v=0$ と円との交点をみると，

$$ (u-2)^2+(0-1)^2=4 $$

より

$$ (u-2)^2=3 $$

したがって

$$ u=2\pm \sqrt3 $$

である。このうち小さい方は $u=2-\sqrt3$ であり，対応する和は

$$ u+v=2-\sqrt3 $$

である。

しかしこの点は $(u,v)=(2-\sqrt3,0)$ であって，$v=0$ は $v=3^y>0$ に反するから実際にはとれない。したがって最小値は存在せず，下限が

$$ 2-\sqrt3 $$

となる。

実際，$v\to 0^+$ とすれば，円周上で

$$ u=2-\sqrt{4-(v-1)^2} $$

とおけて，このとき

$$ u+v\to 2-\sqrt3 $$

となるので，下限は確かに $2-\sqrt3$ である。

以上より，

$$ 2-\sqrt3< u+v\le 3+2\sqrt2 $$

すなわち

$$ 2-\sqrt3<2^x+3^y\le 3+2\sqrt2 $$

である。

解説

この問題の本質は，指数式をそのまま扱うのではなく

$$ u=2^x,\quad v=3^y $$

と置いて図形的な問題に変えることである。

条件式は平方完成により円になる。そこから $u+v$ の範囲は，直線 $u+v=\text{一定}$ を平行移動して考えると整理しやすい。

最大値は円に対する接線の考え方でそのまま求まるが，最小値については $v>0$ という条件が重要である。円全体での最小点は第1象限に入らず，実際の下限は $v=0$ に近づくところで決まるが，$v=0$ 自体はとれないため，下端は不等号が厳密になる。

答え

$$ 2-\sqrt3<2^x+3^y\le 3+2\sqrt2 $$