基礎問題集
数学2 図形と式「線形計画法」の問題16 解説
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解説
方針・初手
条件 $x \le y \le z$ と $z \le \dfrac45$ を、式 $x+2y+z=1$ に直接代入して $y$ をはさみうちする。
解法1
まず、$y$ の最小値を求める。
$x \le y$ かつ $z \le \dfrac45$ より、
$$ x+2y+z \le y+2y+\frac45 $$
である。ここで $x+2y+z=1$ だから、
$$ 1 \le 3y+\frac45 $$
したがって、
$$ 3y \ge \frac15 $$
より、
$$ y \ge \frac1{15} $$
となる。
このとき等号が成り立つには、上の評価で $x=y$, $z=\dfrac45$ であればよい。実際、
$$ x=\frac1{15},\quad y=\frac1{15},\quad z=\frac45 $$
とすると、
$$ 0 \le x \le y \le z \le \frac45,\quad x+2y+z=\frac1{15}+\frac2{15}+\frac{12}{15}=1 $$
であり、条件を満たす。よって $y$ の最小値は
$$ \frac1{15} $$
である。
次に、$y$ の最大値を求める。
$x \ge 0$ かつ $z \ge y$ より、
$$ x+2y+z \ge 0+2y+y $$
である。したがって、
$$ 1 \ge 3y $$
より、
$$ y \le \frac13 $$
となる。
このとき等号が成り立つには、上の評価で $x=0$, $z=y$ であればよい。実際、
$$ x=0,\quad y=\frac13,\quad z=\frac13 $$
とすると、
$$ 0 \le x \le y \le z \le \frac45,\quad x+2y+z=0+\frac23+\frac13=1 $$
であり、条件を満たす。よって $y$ の最大値は
$$ \frac13 $$
である。
解説
この問題では、$x+2y+z=1$ に対して、$x,y,z$ の大小関係から $x$ や $z$ を $y$ で評価するのが基本方針である。
最小値では $x \le y$, $z \le \dfrac45$ を使って右辺を上からおさえ、最大値では $x \ge 0$, $z \ge y$ を使って右辺を下からおさえる。条件をそのまま式に代入するだけで極値が決まる典型的な処理である。
答え
$y$ の最小値は $\dfrac1{15}$、最大値は $\dfrac13$ である。