解説

方針・初手

放物線 $C_k$ の方程式を

$$ y=(1-k)x^2+kx $$

と書き直して考える。

すると、ある点 $P(a,b)$ が $C_k$ 上にある条件は

$$ b=(1-k)a^2+ka $$

であり、$k$ について一次式になる。したがって、同じ点を通る放物線が2つあると仮定して差をとれば、ただちに一意性が出る。

また、頂点は平方完成または二次関数の頂点公式で求め、媒介変数 $k$ を消去すればよい。

解法1

**(1)**

$C_k$ は

$$ y=(1-k)x^2+kx $$

である。

いま、点 $P(a,b)$ が $C_{k_1},C_{k_2}$ の両方を通ると仮定する。すると

$$ b=(1-k_1)a^2+k_1a $$

かつ

$$ b=(1-k_2)a^2+k_2a $$

であるから、両式の差をとって

$$ (k_1-k_2)(a-a^2)=0 $$

すなわち

$$ (k_1-k_2)a(1-a)=0 $$

を得る。

ここで、もし $a=0$ ならば、$P$ が $C_{k_1}$ 上にあることから

$$ b=(1-k_1)\cdot 0^2+k_1\cdot 0=0 $$

となり、$P=(0,0)=A$ である。これは仮定に反する。

同様に、もし $a=1$ ならば、$P$ が $C_{k_1}$ 上にあることから

$$ b=(1-k_1)\cdot 1^2+k_1\cdot 1=1 $$

となり、$P=(1,1)=B$ である。これも仮定に反する。

したがって $a\neq 0,1$ であり、

$$ a(1-a)\neq 0 $$

であるから

$$ k_1-k_2=0 $$

すなわち

$$ k_1=k_2 $$

となる。

よって、$A,B$ 以外の任意の点 $P$ について、これらの放物線 $C_k$ のうち $P$ を通るものはたかだか1つしかない。

**(2)**

$C_k$ は

$$ y=(1-k)x^2+kx $$

であるから、その頂点の $x$ 座標は

$$ x=-\frac{k}{2(1-k)} $$

である。

これを $x$ 座標とすると、頂点の $y$ 座標は

$$ y=(1-k)\left(-\frac{k}{2(1-k)}\right)^2+k\left(-\frac{k}{2(1-k)}\right) $$

より

$$ y=\frac{k^2}{4(1-k)}-\frac{k^2}{2(1-k)} =-\frac{k^2}{4(1-k)} $$

となる。

したがって、頂点 $(x,y)$ は

$$ x=-\frac{k}{2(1-k)},\qquad y=-\frac{k^2}{4(1-k)} $$

で与えられる。

ここで $x=-\dfrac{k}{2(1-k)}$ から $k$ を消去する。両辺を整理すると

$$ 2x(1-k)=-k $$

すなわち

$$ 2x=k(2x-1) $$

であるから

$$ k=\frac{2x}{2x-1} $$

を得る。

これを $y=-\dfrac{k^2}{4(1-k)}$ に代入してもよいが、より簡単に

$$ y=(1-k)x^2+kx $$

と、頂点での関係

$$ 2(1-k)x+k=0 $$

すなわち

$$ k=-2(1-k)x $$

を用いると

$$ y=(1-k)x^2-2(1-k)x^2 =-(1-k)x^2 $$

となる。

さらに

$$ x=-\frac{k}{2(1-k)} \quad\Longrightarrow\quad 1-k=\frac{1}{1-2x} $$

であるから

$$ y=-\frac{x^2}{1-2x} =\frac{x^2}{2x-1} $$

を得る。

したがって、頂点の軌跡は

$$ x^2-2xy+y=0 $$

で表される。

また、$0\leqq k<1$ より

$$ x=-\frac{k}{2(1-k)}\leqq 0 $$

であるから、実際の軌跡は

$$ x^2-2xy+y=0,\qquad x\leqq 0 $$

で与えられる。この曲線は双曲線の一部である。

解説

（1） の本質は、「点 $P(a,b)$ が $C_k$ 上にある条件が $k$ について一次式になる」ことである。そのため、同じ点を通る放物線が2つあると仮定して差をとれば、$k$ が一致することがすぐ分かる。ただし $a=0,1$ の場合だけは $A,B$ に対応するので、そこを丁寧に除外する必要がある。

（2） では、まず頂点を媒介変数 $k$ で表し、その後 $k$ を消去するのが自然である。消去後の式は二次式になるが、判別式 $(-2)^2-4\cdot 1\cdot 0=4>0$ であるから、曲線の種類は双曲線である。今回の条件 $0\leqq k<1$ により、そのうち $x\leqq 0$ の部分だけが実際の軌跡になる。

答え

**(1)**

$A,B$ 以外の任意の点 $P$ について、$P$ を通る放物線 $C_k$ はたかだか1つである。

**(2)**

頂点の軌跡は

$$ x^2-2xy+y=0,\qquad x\leqq 0 $$

であり、双曲線の一部である。