基礎問題集
数学2 図形と式「軌跡」の問題2 解説
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解説
方針・初手
点 $(1,2)$ に関する点対称は、各点 $(x,y)$ を
$$ (x,y)\mapsto (2-x,\ 4-y) $$
に移す変換である。
したがって、もとの曲線上の点 $(x,y)$ を点対称移動した点の座標を文字で表し、それを消去すればよい。
解法1
もとの曲線
$$ y=2x^2-3x+4 $$
上の任意の点を $(x,y)$ とする。
これを点 $(1,2)$ に関して点対称移動した点を $(X,Y)$ とすると、点対称の定義より、点 $(1,2)$ は線分の中点になるから
$$ X=2-x,\qquad Y=4-y $$
である。
ここで、もとの曲線の式 $y=2x^2-3x+4$ を用いると
$$ Y=4-(2x^2-3x+4)=-2x^2+3x $$
となる。
さらに $X=2-x$ より
$$ x=2-X $$
であるから、これを代入して
$$ \begin{aligned} Y&=-2(2-X)^2+3(2-X)\\ &=-2(4-4X+X^2)+6-3X\\ &=-8+8X-2X^2+6-3X\\ &=-2X^2+5X-2 \end{aligned} $$
を得る。
したがって、求める図形の方程式は
$$ Y=-2X^2+5X-2 $$
である。
文字をふつうに $x,y$ に戻せば、
$$ y=-2x^2+5x-2 $$
となる。
解説
点 $(a,b)$ に関する点対称では、座標変換
$$ (x,y)\mapsto (2a-x,\ 2b-y) $$
を使うのが基本である。
この問題では $a=1,\ b=2$ なので
$$ (x,y)\mapsto (2-x,\ 4-y) $$
となる。中点条件をそのまま式にするのが最も確実である。
答え
$$ y=-2x^2+5x-2 $$