解説

方針・初手

極大点・極小点の $x$ 座標は、$f'(x)=0$ の2解である。したがって、まず微分して極値をとる点の $x$ 座標を求める。

中点の $x$ 座標は2解の和からすぐに出る。中点の $y$ 座標は、極値をとる点では $f'(x)=0$ を満たすことを用いて $f(x)$ を簡単な形に直してから平均をとるとよい。

解法1

$f(x)=x^3+3ax^2+3ax$ より、

$$ f'(x)=3x^2+6ax+3a=3(x^2+2ax+a) $$

である。

この3次関数が極大値と極小値をもつためには、$f'(x)=0$ が異なる2実根をもつ必要があるから、

$$ (2a)^2-4a=4a(a-1)>0 $$

より、

$$ a<0 \quad \text{または} \quad a>1 $$

である。

$f'(x)=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ \alpha+\beta=-2a,\qquad \alpha\beta=a $$

である。左側の解が極大、右側の解が極小であるから、極大点を $A$、極小点を $B$ とすれば、$A,B$ の $x$ 座標はそれぞれ $\alpha,\beta$ である。

（1） 中点 $M(p,q)$ の座標

まず $x$ 座標は

$$ p=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{-2a}{2}=-a $$

である。

次に、極値をとる点では $f'(x)=0$、すなわち

$$ x^2+2ax+a=0 $$

が成り立つ。これを用いて $f(x)$ を変形する。

$x^2+2ax+a=0$ に $x$ をかけると、

$$ x^3+2ax^2+ax=0 $$

であるから、

$$ x^3=-2ax^2-ax $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} f(x) &=x^3+3ax^2+3ax \\ &=(-2ax^2-ax)+3ax^2+3ax \\ &=ax^2+2ax \end{aligned} $$

さらに $x^2=-2ax-a$ を用いると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=a(-2ax-a)+2ax \\ &=2a(1-a)x-a^2 \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} q &=\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \\ &=\frac{{2a(1-a)\alpha-a^2}+{2a(1-a)\beta-a^2}}{2} \\ &=a(1-a)(\alpha+\beta)-a^2 \\ &=a(1-a)(-2a)-a^2 \\ &=2a^3-3a^2 \end{aligned} $$

したがって、

$$ M(p,q)=(-a,\ 2a^3-3a^2) $$

である。

（2） 中点 $M(p,q)$ の軌跡

（1） より

$$ p=-a $$

であるから、

$$ a=-p $$

である。これを

$$ q=2a^3-3a^2 $$

に代入すると、

$$ q=2(-p)^3-3(-p)^2=-2p^3-3p^2 $$

となる。

ただし、もともと $a<0$ または $a>1$ であるから、

$$ p=-a>0 \quad \text{または} \quad p=-a<-1 $$

である。

よって、点 $M(p,q)$ の軌跡は

$$ q=-2p^3-3p^2 \qquad (p<-1 \ \text{または}\ p>0) $$

である。

したがって、求めるグラフは三次曲線

$$ q=-2p^3-3p^2 $$

のうち、$p<-1$ および $p>0$ の部分であり、$p=-1,0$ に対応する点 $(-1,-1),(0,0)$ は含まれない。

解説

この問題の要点は、極大点・極小点を直接求めてそれぞれの $y$ 座標を重い計算で出すことではない。

$f'(x)=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とおけば、中点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ でただちに求まる。また、極値をとる点では $x^2+2ax+a=0$ が成り立つため、$f(x)$ をその条件で整理すると一次式 $2a(1-a)x-a^2$ に落ちる。これにより平均が簡潔に計算できる。

最後に、軌跡では「$a$ が極大・極小をもつ条件」を忘れないことが重要である。そのため曲線全体ではなく、$p<-1$ または $p>0$ の部分だけが答えになる。

答え

**(1)**

$$ M(p,q)=(-a,\ 2a^3-3a^2) $$

**(2)**

$$ q=-2p^3-3p^2 \qquad (p<-1 \ \text{または}\ p>0) $$

すなわち、三次曲線 $q=-2p^3-3p^2$ のうち、$p<-1$ および $p>0$ の部分である。