解説

方針・初手

2つの放物線の上下の差をとれば、囲まれた部分の面積は積分で表せる。

まず交点を与える方程式を立て、さらに

$$ {-(x-a)^2+b}-x^2 $$

を平方完成して、面積を $a,b$ で表す。

解法1

2つの放物線を

$$ y_1=x^2,\qquad y_2=-(x-a)^2+b $$

とおく。

交点は

$$ x^2=-(x-a)^2+b $$

を満たすから、

$$ 2x^2-2ax+a^2-b=0 $$

となる。

ここで、2曲線の差は

$$ \begin{aligned} y_2-y_1 &=-(x-a)^2+b-x^2 \\ &=-2x^2+2ax-a^2+b \\ &=-2\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(b-\frac{a^2}{2}\right) \end{aligned} $$

である。

したがって、囲まれた部分が存在するためには

$$ b-\frac{a^2}{2}>0 $$

であり、そのとき交点は

$$ \begin{aligned} x-\frac{a}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(b-\frac{a^2}{2}\right)} \end{aligned} $$

すなわち

$$ x=\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(b-\frac{a^2}{2}\right)} $$

である。

よって面積を $S$ とすると、$t=x-\frac{a}{2}$ とおいて

$$ S= \int_{-\sqrt{\frac{1}{2}(b-a^2/2)}}^{\sqrt{\frac{1}{2}(b-a^2/2)}} \left\{ -2t^2+\left(b-\frac{a^2}{2}\right) \right\},dt $$

となる。対称性を用いると、

$$ S= 2\int_0^{\sqrt{\frac{1}{2}(b-a^2/2)}} \left\{ -2t^2+\left(b-\frac{a^2}{2}\right) \right\},dt $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= 2\left[ -\frac{2}{3}t^3+\left(b-\frac{a^2}{2}\right)t \right]_0^{\sqrt{\frac{1}{2}(b-a^2/2)}} \\ &= \frac{1}{3}(2b-a^2)^{3/2} \end{aligned} $$

を得る。

問題の条件より

$$ S=\frac{8}{3} $$

であるから、

$$ \frac{1}{3}(2b-a^2)^{3/2}=\frac{8}{3} $$

すなわち

$$ (2b-a^2)^{3/2}=8 $$

である。よって

$$ 2b-a^2=4 $$

となり、

$$ b=\frac{a^2}{2}+2 $$

を得る。

このとき

$$ 2b-a^2=4>0 $$

であるから、実際に2曲線は異なる2点で交わり、囲まれた部分も存在する。

解説

この問題の要点は、2つの放物線の差を平方完成することである。すると、囲まれた部分の形は軸が $x=\frac{a}{2}$ の下に凸の放物線になり、その面積が実質的に $2b-a^2$ のみで決まることが分かる。

したがって、面積一定という条件は

$$ 2b-a^2=\text{一定} $$

という条件に直ちに言い換えられ、軌跡が放物線になることが分かる。

答え

点 $(a,b)$ の軌跡は

$$ b=\frac{a^2}{2}+2 $$

である。