解説

方針・初手

交点の $x$ 座標を求めるために、放物線と直線の式を連立する。

すると $x$ についての2次方程式が得られるので、異なる2点で交わる条件は判別式で処理できる。また、線分 $AB$ の中点は、交点の $x$ 座標の和と積を用いると簡潔に求められる。

解法1

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=m(x+2)$ の交点の $x$ 座標を $x_1,\ x_2$ とする。

このとき、交点では

$$ x^2=m(x+2) $$

が成り立つから、

$$ x^2-mx-2m=0 $$

を得る。したがって $x_1,\ x_2$ はこの2次方程式の2解である。

（1） 定数 $m$ の値の範囲

異なる2点 $A,\ B$ で交わるためには、2次方程式

$$ x^2-mx-2m=0 $$

が異なる2つの実数解をもてばよい。

よって判別式 $D$ について

$$ D=(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-2m)=m^2+8m $$

であり、これが正であることが必要十分である。

$$ m^2+8m>0 $$

$$ m(m+8)>0 $$

したがって

$$ m<-8 \quad \text{または} \quad m>0 $$

である。

（2） 線分 $AB$ の中点の軌跡

線分 $AB$ の中点を $P(X,Y)$ とする。

まず、解と係数の関係より

$$ x_1+x_2=m,\qquad x_1x_2=-2m $$

である。

交点 $A,\ B$ は放物線上の点であるから

$$ A=(x_1,x_1^2),\qquad B=(x_2,x_2^2) $$

である。したがって中点 $P$ の座標は

$$ X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m}{2} $$

$$ Y=\frac{x_1^2+x_2^2}{2} $$

となる。

ここで

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 $$

より、

$$ x_1^2+x_2^2=m^2-2(-2m)=m^2+4m $$

である。よって

$$ Y=\frac{m^2+4m}{2} $$

となる。

さらに $X=\dfrac{m}{2}$ から $m=2X$ なので、これを代入すると

$$ Y=\frac{(2X)^2+4(2X)}{2} =2X^2+4X $$

を得る。

したがって中点 $P$ の軌跡は

$$ Y=2X^2+4X $$

である。

ただし、$m$ は （1） より

$$ m<-8 \quad \text{または} \quad m>0 $$

であるから、

$$ X=\frac{m}{2}<-4 \quad \text{または} \quad X>0 $$

という条件が付く。

よって軌跡は

$$ Y=2X^2+4X \qquad (X<-4 \text{ または } X>0) $$

である。

解説

この問題の要点は、交点そのものを個別に求めようとせず、交点の $x$ 座標を2次方程式の解とみなすことである。

すると、（1） は判別式、（2） は解と係数の関係

$$ x_1+x_2,\quad x_1x_2 $$

を使うだけで処理できる。特に中点の $y$ 座標は

$$ \frac{x_1^2+x_2^2}{2} $$

であり、これを

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 $$

に変形するのが典型的な手法である。

また、軌跡の式だけで終わらせず、$m$ の範囲から $X$ の範囲まで正しく落とすことが重要である。$X=-4,\ 0$ に対応する場合は接するだけで、異なる2点で交わらないので除かれる。

答え

**(1)**

$$ m<-8 \quad \text{または} \quad m>0 $$

**(2)**

線分 $AB$ の中点の軌跡は

$$ y=2x^2+4x \qquad (x<-4 \text{ または } x>0) $$

である。