解説

方針・初手

媒介変数 $t$ を消去すればよい。

この形は

$$ \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \frac{2t}{1+t^2} $$

という円の媒介変数表示に似ているので，まず $x^2$ と $y^2$ を組み合わせるのが自然である。

解法1

与えられている式は

$$ x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{4t}{1+t^2} $$

である。

ここで $x^2+\dfrac{y^2}{4}$ を計算すると，

$$ \begin{aligned} x^2+\frac{y^2}{4} &= \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \frac{1}{4}\left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2\\ &= \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} + \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}\\ &= \frac{(1-t^2)^2+4t^2}{(1+t^2)^2}\\ &= \frac{1-2t^2+t^4+4t^2}{(1+t^2)^2}\\ &= \frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &= \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}=1 \end{aligned} $$

したがって，点 $(x,y)$ は

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1 $$

を満たす。

一方，$x=-1$ となるには

$$ \frac{1-t^2}{1+t^2}=-1 $$

でなければならないが，これより

$$ 1-t^2=-(1+t^2) $$

すなわち

$$ 1=-1 $$

となって矛盾する。したがって $(x,y)=(-1,0)$ はこの媒介変数表示では表されない。

よって求める曲線は，点 $(-1,0)$ を除いた楕円

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1 $$

である。

解法2

$x+1$ に注目する。

与式より

$$ x+1=\frac{1-t^2}{1+t^2}+1 =\frac{2}{1+t^2} $$

であるから，

$$ 1+t^2=\frac{2}{x+1} $$

となる。

また

$$ y=\frac{4t}{1+t^2} $$

より，

$$ y=4t\cdot \frac{x+1}{2}=2t(x+1) $$

すなわち

$$ t=\frac{y}{2(x+1)} $$

である。

これを

$$ 1+t^2=\frac{2}{x+1} $$

に代入すると，

$$ 1+\left(\frac{y}{2(x+1)}\right)^2=\frac{2}{x+1} $$

である。

両辺に $(x+1)^2$ をかけて整理すると，

$$ (x+1)^2+\frac{y^2}{4}=2(x+1) $$

となるので，

$$ x^2+2x+1+\frac{y^2}{4}=2x+2 $$

より

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1 $$

を得る。

ただしこの途中で $x+1$ で割っているので，$x=-1$ は除かれる。実際，対応する点は $(-1,0)$ のみであり，これは与えられた媒介変数表示では表されない。

解説

この問題の要点は，媒介変数表示

$$ \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \frac{2t}{1+t^2} $$

が単位円の標準的な表示であることを見抜くことである。

本問では $y$ の係数が $2$ 倍されているので，単位円

$$ X^2+Y^2=1 $$

の $Y$ 座標を $2$ 倍した楕円

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1 $$

になると考えると見通しがよい。

また，媒介変数 $t$ が実数全体を動いても，楕円上の点 $(-1,0)$ だけは表せない点に注意が必要である。

答え

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1 \qquad \bigl((x,y)\ne(-1,0)\bigr) $$