解説

方針・初手

交点 (P(x,y)) をまず (t) を用いて表す。

その後、もとの2直線の式を (t(x-1)=y), (t(y+2)=-(x+1)) の形に直して (t) を消去すると、(P) の軌跡が求まる。最後にその軌跡上での (x) の最大値を調べる。

解法1

交点 (P(x,y)) は2直線

$$ tx-y=t,\qquad x+ty=-2t-1 $$

を同時に満たす。

まず第1式から

$$ y=tx-t $$

である。これを第2式に代入すると

$$ x+t(tx-t)=-2t-1 $$

すなわち

$$ (1+t^2)x=t^2-2t-1 $$

となるから、

$$ x=\frac{t^2-2t-1}{t^2+1} $$

を得る。

したがって

$$ y=tx-t =t\left(\frac{t^2-2t-1}{t^2+1}-1\right) =\frac{-2t^2-2t}{t^2+1} $$

である。よって、(P) の (y) 座標は

$$ \frac{-2t^2-2t}{t^2+1} $$

である。

次に軌跡を求める。上で得た (x,y) を用いると、

$$ x^2+(y+1)^2 =\left(\frac{t^2-2t-1}{t^2+1}\right)^2 +\left(\frac{-2t^2-2t}{t^2+1}+1\right)^2 =2 $$

となる。したがって (P) は曲線

$$ x^2+(y+1)^2=2 $$

上を動く。

ただし、この円上の点 ((1,-2)) は実際にはとらない。実際、もし (P=(1,-2)) なら、第1式に代入して

$$ t\cdot 1-(-2)=t $$

となり、

$$ t+2=t $$

となって矛盾する。よって ((1,-2)) は除かれる。

逆に、円

$$ x^2+(y+1)^2=2 $$

上の点で ((1,-2)) 以外の点をとると、(y+2\neq 0) なので

$$ t=-\frac{x+1}{y+2} $$

とおける。円の方程式より

$$ x^2+y^2+2y-1=0 $$

すなわち

$$ (x+1)(x-1)+y(y+2)=0 $$

であるから、

$$ -\frac{x+1}{y+2}(x-1)=y $$

となり、

$$ t(x-1)=y $$

を満たす。また定義より

$$ t(y+2)=-(x+1) $$

も成り立つ。これはもとの2直線の条件と同値である。したがって軌跡は

$$ x^2+(y+1)^2=2 $$

から点 ((1,-2)) を除いたものである。

最後に (x) 座標の最大値を求める。軌跡は中心 ((0,-1))、半径 (\sqrt{2}) の円から1点を除いたものであるから、

$$ x\le \sqrt{2} $$

であり、等号は (y=-1) のとき成り立つ。実際、この点は除かれていないので最大値は

$$ \sqrt{2} $$

である。

解説

交点の軌跡では、まずパラメータ (t) を用いて座標を表し、その後 (t) を消去するのが基本である。

この問題では、軌跡が円になることが分かれば、(x) 座標の最大値は図形的に直ちに読める。注意すべき点は、円全体ではなく1点 ((1,-2)) が除かれることである。ただしこの点は円の最右点ではないので、最大値そのものには影響しない。

答え

**(ア)**

$$ \frac{-2t^2-2t}{t^2+1} $$

**(イ)**

$$ x^2+(y+1)^2=2 $$

**(ウ)**

$$ (1,-2) $$

**(エ)**

$$ \sqrt{2} $$