解説

方針・初手

条件 (OP\cdot OQ=4) かつ (Q) は (O) に関して (P) と同じ側にあるから、(Q) は (P) を原点中心・半径 (2) の反転で移した点である。

したがって、(P=(u,v)), (Q=(x,y)) とすると、(P,Q,O) は同一直線上にあり向きも同じなので、

$$ (x,y)=\frac{4}{u^2+v^2}(u,v) $$

が成り立つ。反対に、

$$ (u,v)=\frac{4}{x^2+y^2}(x,y) $$

も成り立つ。これを各条件に代入して軌跡を求める。

解法1

（1） (P) が直線 (x=1) 上を動くとき

(P=(1,t)) とおく。ただし (t\in\mathbb{R}) である。

このとき

$$ OP^2=1+t^2 $$

だから、

$$ Q=\frac{4}{1+t^2}(1,t) $$

となる。よって (Q=(x,y)) とすると、

$$ x=\frac{4}{1+t^2},\qquad y=\frac{4t}{1+t^2} $$

である。

ここで

$$ x^2+y^2 =\frac{16}{(1+t^2)^2}+\frac{16t^2}{(1+t^2)^2} =\frac{16}{1+t^2} =4x $$

より、

$$ x^2+y^2=4x $$

すなわち

$$ (x-2)^2+y^2=4 $$

を得る。

したがって、点 (Q) の軌跡は中心 ((2,0))、半径 (2) の円である。

ただし (Q\neq O) である。実際、(OP\cdot OQ=4) で (OP\neq 0) だから (OQ\neq 0) であり、原点は軌跡に含まれない。よって軌跡は

$$ (x-2)^2+y^2=4\qquad (ただし\ (x,y)\neq(0,0)) $$

である。

図示すると、(x) 軸上の (0) と (4) を直径の両端にもつ円であり、原点のみ除いたものである。

（2） (a>r>0) とし、(P) が円 ((x-a)^2+y^2=r^2) 上を動くとき

(Q=(x,y)) とし、

$$ s=x^2+y^2 $$

とおく。反転の関係より、(P=(u,v)) は

$$ u=\frac{4x}{s},\qquad v=\frac{4y}{s} $$

と表せる。

(P) は円 ((u-a)^2+v^2=r^2) 上にあるから、

$$ \left(\frac{4x}{s}-a\right)^2+\left(\frac{4y}{s}\right)^2=r^2 $$

が成り立つ。これを整理すると、

$$ \frac{16x^2}{s^2}-\frac{8ax}{s}+a^2+\frac{16y^2}{s^2}=r^2 $$

すなわち

$$ \frac{16(x^2+y^2)}{s^2}-\frac{8ax}{s}+a^2=r^2 $$

である。ここで (x^2+y^2=s) であるから、

$$ \frac{16}{s}-\frac{8ax}{s}+a^2=r^2 $$

となる。両辺に (s) を掛けて、

$$ 16-8ax+(a^2-r^2)(x^2+y^2)=0 $$

を得る。よって

$$ (a^2-r^2)(x^2+y^2)-8ax+16=0 $$

である。

(a>r>0) より (a^2-r^2>0) なので、両辺を (a^2-r^2) で割ると、

$$ x^2+y^2-\frac{8a}{a^2-r^2}x+\frac{16}{a^2-r^2}=0 $$

となる。平方完成して、

$$ \begin{aligned} \left(x-\frac{4a}{a^2-r^2}\right)^2+y^2 &= \frac{16a^2}{(a^2-r^2)^2}-\frac{16}{a^2-r^2} \qquad \end{aligned} $$

右辺を整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{16a^2}{(a^2-r^2)^2}-\frac{16(a^2-r^2)}{(a^2-r^2)^2} &= \frac{16r^2}{(a^2-r^2)^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \left(x-\frac{4a}{a^2-r^2}\right)^2+y^2 &= \left(\frac{4r}{a^2-r^2}\right)^2 \end{aligned} $$

を得る。

したがって、点 (Q) の軌跡は円であり、その中心は

$$ \left(\frac{4a}{a^2-r^2},,0\right) $$

半径は

$$ \frac{4r}{a^2-r^2} $$

である。

解説

この問題の本質は、条件

$$ OP\cdot OQ=4 $$

が「原点中心・半径 (2) の反転」を表していることである。したがって、(P) の軌跡をそのまま扱うより、反転の座標表示

$$ Q=\frac{4}{|P|^2}P $$

を用いて直接計算するのが最も確実である。

（1） は直線の反転像であり、原点を通る円になる。

（2） は原点を通らない円の反転像であり、再び円になる。(a>r>0) という条件は、もとの円が原点を通らないことを保証しており、計算でも (a^2-r^2>0) として自然に現れる。

答え

**(1)**

点 (Q) の軌跡は

$$ (x-2)^2+y^2=4 $$

である。ただし原点 (O=(0,0)) は含まれない。

**(2)**

点 (Q) の軌跡は

$$ \begin{aligned} \left(x-\frac{4a}{a^2-r^2}\right)^2+y^2 &= \left(\frac{4r}{a^2-r^2}\right)^2 \end{aligned} $$

である。したがって、中心は

$$ \left(\frac{4a}{a^2-r^2},,0\right) $$

半径は

$$ \frac{4r}{a^2-r^2} $$

である。