解説

方針・初手

円が $A(-1,4),\ B(2,5)$ を通るので，その中心 $P$ は $AB$ の垂直二等分線上にある。

さらに，円が直線 $y=\dfrac12x$ と共有点をもつための条件は，「中心 $P$ からその直線までの距離が，半径以下である」ということである。

したがって，

1. まず $P$ が動く直線を求める。 2. その上で，直線 $y=\dfrac12x$ と共有点をもつ条件を不等式で表す。

という順で処理すればよい。

解法1

円の中心を $P(x,y)$ とする。

円は $A,\ B$ を通るから，

$$ PA=PB $$

である。よって，

$$ (x+1)^2+(y-4)^2=(x-2)^2+(y-5)^2 $$

これを整理すると，

$$ 3x+y-6=0 $$

したがって，中心 $P$ は

$$ y=-3x+6 $$

上を動く。

そこで，$x=t$ とおいて

$$ P(t,-3t+6) $$

と表す。

このとき半径 $r$ は $PA$ に等しいから，

$$ r^2=(t+1)^2+(-3t+2)^2 $$

すなわち，

$$ r^2=10t^2-10t+5 $$

である。

次に，直線 $y=\dfrac12x$ を

$$ x-2y=0 $$

と書く。点 $P(t,-3t+6)$ からこの直線までの距離を $d$ とすると，

$$ d=\frac{|t-2(-3t+6)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} =\frac{|7t-12|}{\sqrt5} $$

となる。

円が直線 $y=\dfrac12x$ と共有点をもつための必要十分条件は，

$$ d\le r $$

である。したがって，

$$ \frac{(7t-12)^2}{5}\le 10t^2-10t+5 $$

これを整理すると，

$$ 49t^2-168t+144\le 50t^2-50t+25 $$

$$ t^2+118t-119\ge 0 $$

$$ (t-1)(t+119)\ge 0 $$

ゆえに，

$$ t\le -119 \quad \text{または} \quad t\ge 1 $$

である。

したがって，中心 $P$ の軌跡は

$$ y=-3x+6,\qquad x\le -119 \ \text{または}\ x\ge 1 $$

である。

次に半径の最小値を求める。

先ほどの式

$$ r^2=10t^2-10t+5 $$

を平方完成すると，

$$ r^2=10\left(t-\frac12\right)^2+\frac52 $$

となる。

よって $r^2$ は $t=\dfrac12$ のとき最小になる形をしているが，この値は許される範囲 $t\le -119$ または $t\ge 1$ の中には入っていない。

したがって，許される範囲で最小になるのは $t=\dfrac12$ に最も近い端点 $t=1$ のときである。

このとき，

$$ P=(1,3) $$

であり，

$$ r^2=10-10+5=5 $$

だから，

$$ r=\sqrt5 $$

となる。

解説

この問題の本質は，「円が2点 $A,\ B$ を通る」という条件から中心の候補がまず1本の直線に絞られることにある。

そのうえで，「直線と共有点をもつ」という条件は，中心からその直線までの距離と半径の大小関係

$$ \text{距離}\le \text{半径} $$

で表せる。したがって，軌跡は垂直二等分線全体ではなく，そのうち条件を満たす部分だけになる。

また，半径の最小値は境界で生じる。これは，最小の円は直線 $y=\dfrac12x$ にちょうど接する円になることを意味している。

答え

**(1)**

円の中心 $P$ の軌跡は

$$ y=-3x+6,\qquad x\le -119 \ \text{または}\ x\ge 1 $$

である。

**(2)**

半径 $r$ の最小値は

$$ \sqrt5 $$

である。