解説

方針・初手

$B(s,s^2),,C(t,t^2)$ は放物線 $y=x^2$ 上の点である。したがって，$BC$ の方程式を $s,t$ を用いて表し，それが $A(1,2)$ を通る条件を使えば，まず $s,t$ の関係が求まる。

その後，中点 $M(u,v)$ を $s+t,\ st$ で表して消去すると，$u,\ v$ の関係式が得られる。最後はその式を平方完成すれば最小値が分かる。

解法1

**(1)**

$B(s,s^2),\ C(t,t^2)$ を通る直線の傾きは

$$ \frac{t^2-s^2}{t-s}=s+t $$

であるから，直線 $BC$ の方程式は

$$ y-s^2=(s+t)(x-s) $$

すなわち

$$ y=(s+t)x-st $$

である。

この直線が $A(1,2)$ を通るので，

$$ 2=(s+t)\cdot 1-st $$

より

$$ s+t-st=2 $$

である。したがって，

$$ \boxed{s+t-st=2} $$

を得る。

（2） 線分 $BC$ の中点を $M(u,v)$ とすると，

$$ u=\frac{s+t}{2},\qquad v=\frac{s^2+t^2}{2} $$

である。

ここで

$$ s+t=2u $$

とおくと，（1） より

$$ st=s+t-2=2u-2 $$

である。

また，

$$ s^2+t^2=(s+t)^2-2st $$

だから，

$$ 2v=(2u)^2-2(2u-2)=4u^2-4u+4 $$

よって

$$ v=2u^2-2u+2 $$

となる。したがって，

$$ \boxed{v=2u^2-2u+2} $$

である。

（3） （2） の式を平方完成すると，

$$ v=2\left(u-\frac12\right)^2+\frac32 $$

となる。

したがって，$v$ の最小値は

$$ \boxed{\frac32} $$

であり，そのとき

$$ u=\frac12 $$

である。

さらに

$$ u=\frac{s+t}{2}=\frac12 $$

より

$$ s+t=1 $$

である。また （1） より

$$ s+t-st=2 $$

だから，

$$ 1-st=2 $$

すなわち

$$ st=-1 $$

である。

よって $s,\ t$ は方程式

$$ x^2-(s+t)x+st=0 $$

すなわち

$$ x^2-x-1=0 $$

の2解であるから，

$$ x=\frac{1\pm\sqrt5}{2} $$

となる。$s<t$ より

$$ \boxed{s=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad t=\frac{1+\sqrt5}{2}} $$

である。

解説

放物線 $y=x^2$ 上の2点 $(s,s^2),\ (t,t^2)$ を結ぶ直線は，

$$ y=(s+t)x-st $$

と表せる。これは放物線の弦の基本形であり，本問の中心となる処理である。

また，中点の座標では $s,\ t$ を直接扱うよりも，$s+t,\ st$ で整理すると消去が容易になる。最後は $v$ を $u$ の2次式に落とし，平方完成で最小値を求めるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \boxed{s+t-st=2} $$

**(2)**

$$ \boxed{v=2u^2-2u+2} $$

**(3)**

$$ \boxed{v_{\min}=\frac32} $$

そのとき

$$ \boxed{u=\frac12,\qquad s=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad t=\frac{1+\sqrt5}{2}} $$