解説

方針・初手

交点は連立方程式

$$ (x-1)^2=kx+1 $$

を解けばよい。

この式はすぐに因数分解でき、一方の交点が常に $(0,1)$ であることが分かる。あとは、$k>-2$ のときと $k<-2$ のときで $P,Q$ の左右関係が入れ替わるので、内分点 $R$ の座標を場合分けして求め、最後に $k$ を消去すれば軌跡が出る。

解法1

**(1)**

放物線と直線の交点の $x$ 座標は

$$ (x-1)^2=kx+1 $$

より

$$ x^2-2x+1=kx+1 $$

すなわち

$$ x^2-(k+2)x=0 $$

であるから、

$$ x{x-(k+2)}=0 $$

となる。よって交点の $x$ 座標は

$$ x=0,\quad x=k+2 $$

である。

異なる $2$ 点で交わるためには、これらが一致しないことが必要十分であるから、

$$ k+2\neq 0 $$

すなわち

$$ k\neq -2 $$

である。

**(2)**

交点は

$$ x=0 \Rightarrow y=1 $$

より $(0,1)$ と、

$$ x=k+2 \Rightarrow y=k(k+2)+1=(k+1)^2 $$

より $\bigl(k+2,(k+1)^2\bigr)$ である。

したがって、交点は

$$ (0,1),\quad \bigl(k+2,(k+1)^2\bigr) $$

の $2$ 点である。

ここで、$P$ は $x$ 座標が小さい方の点であるから、$k$ の符号に応じて場合分けする。

**(i)**

$k>-2$ のとき

このとき $k+2>0$ であるから、

$$ P=(0,1),\quad Q=\bigl(k+2,(k+1)^2\bigr) $$

である。

$R$ は線分 $PQ$ を $1:2$ に内分する点、すなわち $PR:RQ=1:2$ を満たすから、内分点の公式より

$$ R\left(\frac{2x_P+x_Q}{3},\frac{2y_P+y_Q}{3}\right) $$

である。よって

$$ s=\frac{2\cdot 0+(k+2)}{3}=\frac{k+2}{3}, \qquad t=\frac{2\cdot 1+(k+1)^2}{3} =\frac{k^2+2k+3}{3} $$

となる。

**(ii)**

$k<-2$ のとき

このとき $k+2<0$ であるから、

$$ P=\bigl(k+2,(k+1)^2\bigr),\quad Q=(0,1) $$

である。

同様に内分点の公式より

$$ s=\frac{2(k+2)+0}{3}=\frac{2(k+2)}{3}, \qquad t=\frac{2(k+1)^2+1}{3} =\frac{2k^2+4k+3}{3} $$

となる。

したがって、$R(s,t)$ は

$$ \begin{cases} \left(\dfrac{k+2}{3},\dfrac{k^2+2k+3}{3}\right) & (k>-2),\\[1.2ex] \left(\dfrac{2(k+2)}{3},\dfrac{2k^2+4k+3}{3}\right) & (k<-2) \end{cases} $$

である。

**(3)**

**(i)**

$k>-2$ のとき

$$ s=\frac{k+2}{3} $$

より

$$ k=3s-2 $$

である。これを

$$ t=\frac{k^2+2k+3}{3} $$

に代入すると、

$$ t=\frac{(3s-2)^2+2(3s-2)+3}{3} =3s^2-2s+1 $$

を得る。また $k>-2$ より

$$ s>0 $$

である。

**(ii)**

$k<-2$ のとき

$$ s=\frac{2(k+2)}{3} $$

より

$$ k=\frac{3}{2}s-2 $$

である。これを

$$ t=\frac{2k^2+4k+3}{3} $$

に代入すると、

$$ t=\frac{2\left(\frac{3}{2}s-2\right)^2+4\left(\frac{3}{2}s-2\right)+3}{3} =\frac{3}{2}s^2-2s+1 $$

を得る。また $k<-2$ より

$$ s<0 $$

である。

したがって、点 $R$ の軌跡は

$$ \begin{cases} t=3s^2-2s+1 & (s>0),\\[1ex] t=\dfrac{3}{2}s^2-2s+1 & (s<0) \end{cases} $$

である。

なお、$k=-2$ は除かれるので、$(s,t)=(0,1)$ は軌跡に含まれない。

図示すると、点 $(0,1)$ を共通の極限点として、

• $s>0$ 側では放物線 $t=3s^2-2s+1$ の右半分
• $s<0$ 側では放物線 $t=\dfrac{3}{2}s^2-2s+1$ の左半分

からなる。

解説

この問題の本質は、交点を求める式が

$$ x^2-(k+2)x=0 $$

と簡単に因数分解できる点にある。これにより、一方の交点が常に $(0,1)$ であり、もう一方だけが $k$ によって動くことが分かる。

注意すべきなのは、$P$ を「$x$ 座標が小さい方」と定めているため、$k>-2$ と $k<-2$ で $P,Q$ が入れ替わることである。ここを無視すると、内分点 $R$ の座標を誤る。

軌跡もこの入れ替わりのために 1 本の式では表せず、$s>0$ と $s<0$ で別々の放物線になる。

答え

**(1)**

$$ k\neq -2 $$

**(2)**

$$ \begin{cases} R\left(\dfrac{k+2}{3},\dfrac{k^2+2k+3}{3}\right) & (k>-2),\\[1.2ex] R\left(\dfrac{2(k+2)}{3},\dfrac{2k^2+4k+3}{3}\right) & (k<-2) \end{cases} $$

**(3)**

点 $R(s,t)$ の軌跡は

$$ \begin{cases} t=3s^2-2s+1 & (s>0),\\[1ex] t=\dfrac{3}{2}s^2-2s+1 & (s<0) \end{cases} $$

であり、点 $(0,1)$ は含まれない。