解説

方針・初手

交点 $P$ は，2直線

$$ \ell_1:\ y=-\frac{1}{m}x+t,\qquad \ell_2:\ y=m(x-1) $$

を連立すれば求まる。

また，三角形 $OAP$ の外接円の直径は，辺の長さと面積の関係

$$ abc=4R\Delta $$

を用いると処理しやすい。最後は，求まった直径を正弦定理に結びつければ，$\angle OPA$ が $m$ に依らないことが分かる。

解法1

（1） 点 $P$ の座標

$P$ は $\ell_1,\ell_2$ の交点であるから，

$$ -\frac{1}{m}x+t=m(x-1) $$

を解けばよい。

両辺に $m$ をかけると，

$$ -x+mt=m^2x-m^2 $$

となるので，

$$ (m^2+1)x=m^2+mt $$

より

$$ x=\frac{m^2+mt}{m^2+1}=\frac{m(m+t)}{m^2+1} $$

である。

さらに

$$ y=m(x-1) $$

より，

$$ y=m\left(\frac{m(m+t)}{m^2+1}-1\right) =m\cdot \frac{m^2+mt-(m^2+1)}{m^2+1} =\frac{m(mt-1)}{m^2+1} $$

となる。

したがって，

$$ P\left(\frac{m(m+t)}{m^2+1},\ \frac{m(mt-1)}{m^2+1}\right) $$

である。

（2） 三角形 $OAP$ の外接円の直径

まず，各辺の長さを求める。

$O=(0,0)$ であるから，

$$ OP^2=x^2+y^2 $$

である。（1） の結果を代入すると，

$$ OP^2 =\frac{m^2(m+t)^2+m^2(mt-1)^2}{(m^2+1)^2} =\frac{m^2{(m+t)^2+(mt-1)^2}}{(m^2+1)^2}. $$

ここで

$$ (m+t)^2+(mt-1)^2 =m^2+2mt+t^2+m^2t^2-2mt+1 =(m^2+1)(t^2+1) $$

であるから，

$$ OP^2=\frac{m^2(t^2+1)}{m^2+1}. $$

よって

$$ OP=\frac{m\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。

次に，

$$ x-1=\frac{m(m+t)}{m^2+1}-1=\frac{mt-1}{m^2+1} $$

より，

$$ AP^2=(x-1)^2+y^2 =\frac{(mt-1)^2}{(m^2+1)^2}+\frac{m^2(mt-1)^2}{(m^2+1)^2} =\frac{(mt-1)^2}{m^2+1}. $$

条件 $mt>1$ より $mt-1>0$ なので，

$$ AP=\frac{mt-1}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。

また，$OA=1$ であり，三角形 $OAP$ の面積 $\Delta$ は

$$ \Delta=\frac{1\cdot y}{2}=\frac{y}{2} $$

である。

外接円の半径を $R$，直径を $D$ とすると，

$$ OP\cdot AP\cdot OA=4R\Delta=2D\Delta $$

であるから，

$$ D=\frac{OP\cdot AP\cdot OA}{2\Delta} =\frac{OP\cdot AP}{y} $$

となる。

したがって，

$$ D= \frac{\displaystyle \frac{m\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}\cdot \frac{mt-1}{\sqrt{m^2+1}}} {\displaystyle \frac{m(mt-1)}{m^2+1}} =\sqrt{t^2+1}. $$

よって，三角形 $OAP$ の外接円の直径は

$$ \sqrt{t^2+1} $$

である。

**(3)**

$t$ を固定したとき，$\angle OPA$ は $m$ によらず一定であること

三角形 $OAP$ において，外接円の直径を $D$ とすると正弦定理より

$$ D=\frac{OA}{\sin \angle OPA} $$

である。

ここで $OA=1$，また （2） より

$$ D=\sqrt{t^2+1} $$

であるから，

$$ \sin \angle OPA=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}. $$

右辺は $t$ のみで決まり，$m$ を含まない。したがって，$t$ を固定すれば $\angle OPA$ は $m$ によらず一定である。

なお，$mt>1$ より

$$ x-1=\frac{mt-1}{m^2+1}>0,\qquad y=\frac{m(mt-1)}{m^2+1}>0 $$

であるから，$P$ は $A$ の右上にあり，$\angle OPA$ は鋭角である。よって

$$ \angle OPA=\arcsin\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} $$

と一意に定まる。

解説

この問題の要点は，**交点の座標を正確に出したあと，長さと面積を用いて外接円の直径を求めること**である。

特に （2） では，円の方程式を立てるよりも

$$ abc=4R\Delta $$

を使う方が計算が整理しやすい。すると直径が

$$ \sqrt{t^2+1} $$

となり，$m$ が消える。

（3） は，この結果をそのまま正弦定理に入れるだけでよい。直径が $m$ に依らない以上，それに対応する角 $\angle OPA$ も $m$ に依らないことが分かる。

答え

**(1)**

$$ P\left(\frac{m(m+t)}{m^2+1},\ \frac{m(mt-1)}{m^2+1}\right) $$

**(2)**

三角形 $OAP$ の外接円の直径は

$$ \sqrt{t^2+1} $$

**(3)**

$t$ を固定すると，

$$ \sin \angle OPA=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} $$

となるので，$\angle OPA$ は $m$ によらず一定である。具体的には

$$ \angle OPA=\arcsin\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} $$

である。