解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおく。2つの放物線が接するためには，接点で関数値と微分係数が一致すればよい。

したがって，まず

$$ at^2=b(t-1)^2+c,\qquad 2at=2b(t-1) $$

を立て，ここから $t$ を $a,c$ で表す。

次に，接点を $(x,y)$ とおいて $a,c$ を $x,y$ で表し，条件 $1+c^2\le 2a$ を接点の条件に言い換える。

解法1

接点を $P(t,at^2)$ とする。

$C_1:y=ax^2,\ C_2:y=b(x-1)^2+c$ が $P$ で接するから，関数値と微分係数が一致して

$$ at^2=b(t-1)^2+c $$

$$ 2at=2b(t-1) $$

を満たす。

後式より

$$ at=b(t-1) $$

である。

ここで $a,b\ne0$ であるから，$t=0$ なら $b=0$ となって不適であり，$t=1$ なら $a=0$ となって不適である。よって $t\ne0,1$ である。

したがって

$$ b=\frac{at}{t-1} $$

と表せる。これを前式に代入すると，

$$ at^2=\frac{at}{t-1}(t-1)^2+c=at(t-1)+c $$

となるので，

$$ at^2-at(t-1)=c $$

すなわち

$$ at=c $$

を得る。よって

$$ t=\frac{c}{a} $$

である。

したがって接点の座標は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{c}{a},,a\left(\frac{c}{a}\right)^2\right) &= \left(\frac{c}{a},,\frac{c^2}{a}\right) \end{aligned} $$

である。

次に，接点を $(x,y)$ とおくと，上の結果より

$$ x=\frac{c}{a},\qquad y=\frac{c^2}{a} $$

である。

ここで $c\ne0,\ a\ne0$ より $x\ne0$ である。また

$$ a=\frac{y}{x^2},\qquad c=\frac{y}{x} $$

と表せる。

これを条件 $1+c^2\le2a$ に代入すると，

$$ 1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\le 2\cdot\frac{y}{x^2} $$

両辺に $x^2$ を掛けて

$$ x^2+y^2\le2y $$

すなわち

$$ x^2+(y-1)^2\le1 $$

を得る。

よって接点は，円

$$ x^2+(y-1)^2=1 $$

の内部および周上を動く。

ただし，もとの条件から除かれる点がある。

まず $x=\dfrac{c}{a}$ で $c\ne0$ だから $x=0$ は起こらない。したがって，円板内の $y$ 軸上の点

$$ x=0,\qquad 0\le y\le2 $$

はすべて除かれる。

また接点の $x$ 座標は $t=\dfrac{c}{a}$ であり，先に見たように $t=1$ は不可能である。円板内で $x=1$ を満たす点は $(1,1)$ のみであるから，この点も除かれる。

逆に，円板

$$ x^2+(y-1)^2\le1 $$

上の点で $x\ne0,1$ を満たすものに対して

$$ a=\frac{y}{x^2},\qquad c=\frac{y}{x},\qquad b=\frac{y}{x(x-1)} $$

とおけば，$a,b,c$ はすべて $0$ でなく，

$$ 1+c^2\le2a $$

も成り立つ。またその点で $C_1,\ C_2$ の値と微分係数が一致するので，実際にその点は接点として実現される。

したがって，接点の動く範囲は

$$ {(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le1,\ x\ne0,\ x\ne1} $$

である。

これは，中心 $(0,1)$，半径 $1$ の閉円板から，直径上の線分 $x=0\ (0\le y\le2)$ と点 $(1,1)$ を除いた部分である。

解説

接する条件は「共有点をもつ」だけではなく，「その点で接線も一致する」である。したがって，関数値の一致と微分係数の一致を連立するのが基本方針となる。

この問題では，微分係数の一致から $b$ を消去すると $at=c$ がすぐに出て，接点の座標が簡潔に求まる。その後は，接点 $(x,y)$ から逆に $a,c$ を表して条件 $1+c^2\le2a$ を移しかえると，きれいに

$$ x^2+(y-1)^2\le1 $$

という円板の条件になる。

ただし，$a,b,c$ がすべて $0$ でないという条件のために，円板全体ではなく $x=0$ の部分と $(1,1)$ を除くことを見落としてはならない。

答え

**(1)**

接点の座標は

$$ \left(\frac{c}{a},,\frac{c^2}{a}\right) $$

である。

**(2)**

接点の動く範囲は

$$ {(x,y)\mid x^2+(y-1)^2\le1,\ x\ne0,\ x\ne1} $$

である。

すなわち，中心 $(0,1)$，半径 $1$ の閉円板から，線分 $x=0\ (0\le y\le2)$ と点 $(1,1)$ を除いた部分である。