解説

方針・初手

円の中心は $C(4,0)$、半径は $2$ である。

直線 $y=mx$ が円と異なる $2$ 点で交わる条件は、中心 $C$ から直線 $y=mx$ までの距離が半径 $2$ より小さいことである。

また、線分 $PQ$ の中点 $R$ は、円の中心 $C$ から弦 $PQ$ に下ろした垂線の足になる。この性質を使うと、$R$ の座標が直接求まる。

解法1

（1） 定数 $m$ のとりうる値の範囲

直線 $y=mx$ を

$$ mx-y=0 $$

とみると、点 $C(4,0)$ からこの直線までの距離 $d$ は

$$ d=\frac{|4m|}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。

円と直線が異なる $2$ 点で交わるための条件は

$$ d<2 $$

であるから、

$$ \frac{|4m|}{\sqrt{m^2+1}}<2 $$

となる。両辺を二乗して整理すると

$$ \frac{16m^2}{m^2+1}<4 $$

$$ 16m^2<4(m^2+1) $$

$$ 12m^2<4 $$

$$ 3m^2<1 $$

$$ m^2<\frac13 $$

よって、

$$ -\frac{1}{\sqrt3}<m<\frac{1}{\sqrt3} $$

である。

**(2)**

$PQ=2\sqrt2$ のときの $m$

中心 $C$ から弦 $PQ$ までの距離を $d$ とすると、半径 $2$ の円における弦の長さは

$$ PQ=2\sqrt{2^2-d^2}=2\sqrt{4-d^2} $$

である。

これが $2\sqrt2$ に等しいから、

$$ 2\sqrt{4-d^2}=2\sqrt2 $$

$$ 4-d^2=2 $$

$$ d^2=2 $$

一方、

$$ d=\frac{|4m|}{\sqrt{m^2+1}} $$

であるから、

$$ \frac{16m^2}{m^2+1}=2 $$

$$ 16m^2=2(m^2+1) $$

$$ 14m^2=2 $$

$$ 7m^2=1 $$

$$ m^2=\frac17 $$

したがって、

$$ m=\pm\frac{1}{\sqrt7} $$

である。

（3） 中点 $R$ の軌跡

$R=(x,y)$ とする。

$R$ は直線 $y=mx$ 上にあるから

$$ y=mx $$

を満たす。

また、$R$ は弦 $PQ$ の中点であるから、$CR$ は弦 $PQ$ に垂直である。直線 $y=mx$ の方向ベクトルは $(1,m)$ なので、

$$ (x-4,\ y)\cdot(1,m)=0 $$

すなわち

$$ x-4+my=0 $$

である。

ここで $y=mx$ を代入すると

$$ x-4+m(mx)=0 $$

$$ (1+m^2)x=4 $$

$$ x=\frac{4}{1+m^2} $$

さらに

$$ y=mx=\frac{4m}{1+m^2} $$

となる。

これらから $m$ を消去する。まず

$$ x^2+y^2 =\frac{16}{(1+m^2)^2}+\frac{16m^2}{(1+m^2)^2} =\frac{16(1+m^2)}{(1+m^2)^2} =\frac{16}{1+m^2} $$

一方、

$$ 4x=4\cdot\frac{4}{1+m^2}=\frac{16}{1+m^2} $$

であるから、

$$ x^2+y^2=4x $$

すなわち

$$ (x-2)^2+y^2=4 $$

を得る。

ただし、（1） より

$$ m^2<\frac13 $$

なので、

$$ x=\frac{4}{1+m^2}> \frac{4}{1+\frac13}=3 $$

である。したがって、$R$ の軌跡は

$$ (x-2)^2+y^2=4,\quad x>3 $$

で表される。

これは、中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円のうち、直線 $x=3$ より右側にある弧である。端点 $(3,\sqrt3)$、$(3,-\sqrt3)$ は含まれず、$(4,0)$ は含まれる。

解説

この問題の要点は、円と直線の位置関係を「中心から直線までの距離」で処理することである。

（1） は交点が異なる $2$ 点である条件を、接する場合を除いて距離 $< $ 半径とすればよい。

（2） は弦の長さの公式

$$ \text{弦の長さ}=2\sqrt{r^2-d^2} $$

を使うと一気に処理できる。

（3） は中点 $R$ が「中心から弦に下ろした垂線の足」であることが決定的である。$R$ が直線上にあることと、$CR$ が直線に垂直であることの $2$ 条件を立てれば、座標がすぐに求まる。

答え

**(1)**

$$ -\frac{1}{\sqrt3}<m<\frac{1}{\sqrt3} $$

**(2)**

$$ m=\pm\frac{1}{\sqrt7} $$

**(3)**

$R$ の軌跡は

$$ (x-2)^2+y^2=4,\quad x>3 $$

すなわち、中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円のうち、端点 $(3,\pm\sqrt3)$ を除く右側の弧である。