解説

方針・初手

2つの放物線が点 $P(p,p^2)$ で同じ直線に接するという条件は、

• 点 $P$ をともに通ること
• $x=p$ における接線の傾きが等しいこと

の2条件に言い換えられる。したがって、まず $C_2:y=ax^2+bx+c$ について

$$ ap^2+bp+c=p^2,\qquad 2ap+b=2p $$

を用いて $b,c$ を求める。

その後、$C_2$ を平方完成して頂点 $Q$ を求めると、$Q$ と $P$ の関係が直ちに分かる。

解法1

**(1)**

$b,c$ を $a,p$ で表す。

$C_1:y=x^2$ の $x=p$ における傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=2x \quad\Rightarrow\quad 2p $$

である。

一方、$C_2:y=ax^2+bx+c$ の $x=p$ における傾きは

$$ 2ap+b $$

であるから、接線の傾きが等しいことより

$$ 2ap+b=2p $$

となる。よって

$$ b=2(1-a)p $$

である。

また、$P(p,p^2)$ は $C_2$ 上にもあるから

$$ ap^2+bp+c=p^2 $$

である。ここに $b=2(1-a)p$ を代入すると

$$ ap^2+2(1-a)p^2+c=p^2 $$

より

$$ c=p^2-ap^2-2(1-a)p^2=(a-1)p^2 $$

となる。

したがって、

$$ b=2(1-a)p,\qquad c=(a-1)p^2 $$

である。

（2） 点 $Q$ の座標を $a,p$ で表す。

（1） の結果を用いると、

$$ C_2:\ y=ax^2+2(1-a)px+(a-1)p^2 $$

である。

これを平方完成すると

$$ \begin{aligned} y &=a\left(x-\frac{a-1}{a}p\right)^2+\frac{a-1}{a}p^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、頂点 $Q$ の座標は

$$ Q\left(\frac{a-1}{a}p,\ \frac{a-1}{a}p^2\right) $$

である。

**(3)**

$p\ne 0$ のとき、3点 $Q,O,P$ はこの順で一直線上にあることを示し、さらに $\dfrac{OQ}{OP}$ を $a$ で表す。

（2） より

$$ Q\left(\frac{a-1}{a}p,\ \frac{a-1}{a}p^2\right) =\frac{a-1}{a}(p,p^2) $$

である。

ここで

$$ P=(p,p^2) $$

であるから、

$$ Q=\frac{a-1}{a}P $$

が成り立つ。よって、$Q$ はベクトル $\overrightarrow{OP}$ の実数倍で表されるので、3点 $Q,O,P$ は一直線上にある。

さらに、$0<a<1$ より

$$ \frac{a-1}{a}<0 $$

である。したがって、$Q$ は $P$ と原点 $O$ をはさんで反対側にあり、3点は $Q,O,P$ の順に並ぶ。

また、長さについては

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{a-1}{a}\overrightarrow{OP} $$

より

$$ OQ=\left|\frac{a-1}{a}\right|OP=\frac{1-a}{a}OP $$

である。

よって

$$ \frac{OQ}{OP}=\frac{1-a}{a} $$

となる。

（4） 点 $Q$ の軌跡の方程式を求める。

点 $Q$ の座標を $(x,y)$ とおくと、（2） より

$$ x=\frac{a-1}{a}p,\qquad y=\frac{a-1}{a}p^2 $$

である。

第1式から

$$ p=\frac{a}{a-1}x $$

であるから、これを第2式に代入すると

$$ \begin{aligned} y &=\frac{a-1}{a}\left(\frac{a}{a-1}x\right)^2 \\ &=\frac{a}{a-1}x^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、点 $Q$ の軌跡は

$$ y=\frac{a}{a-1}x^2 $$

である。

なお、$0<a<1$ であるから $\dfrac{a}{a-1}<0$ であり、これは下に開く放物線である。

解説

この問題の本質は、「同じ点で同じ直線に接する」という条件を、関数値の一致と微分係数の一致に落とし込むことである。ここで $b,c$ がただちに決まり、その後は平方完成によって頂点 $Q$ を求めればよい。

特に

$$ Q=\frac{a-1}{a}P $$

という形が出ることが重要である。これにより、（3） の一直線上にあることも、比 $\dfrac{OQ}{OP}$ も同時に分かる。また、（4） ではこの比例関係を媒介変数 $p$ の消去に使えばよい。

答え

**(1)**

$$ b=2(1-a)p,\qquad c=(a-1)p^2 $$

**(2)**

$$ Q\left(\frac{a-1}{a}p,\ \frac{a-1}{a}p^2\right) $$

**(3)**

$p\ne 0$ のとき、3点 $Q,O,P$ はこの順で一直線上にある。また、

$$ \frac{OQ}{OP}=\frac{1-a}{a} $$

**(4)**

点 $Q$ の軌跡は

$$ y=\frac{a}{a-1}x^2 $$

である。