解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とおくと、三角形 $ABP$ の重心 $G$ の座標は重心の公式で直接表せる。

したがって、まず $G$ を $x,y$ で表し、その後で $P$ が円 $C$ 上にある条件

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=4 $$

に代入して、$G$ の満たす方程式を求めればよい。

解法1

点 $P$ を

$$ P(x,y) $$

とおく。

このとき、$A(5,1)$、$B(3,4)$ であるから、$\triangle ABP$ の重心 $G$ の座標は

$$ \begin{aligned} G\left(\frac{5+3+x}{3},\frac{1+4+y}{3}\right) &= \left(\frac{x+8}{3},\frac{y+5}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

ここで、$G$ の座標を $(X,Y)$ とおくと

$$ X=\frac{x+8}{3},\qquad Y=\frac{y+5}{3} $$

より

$$ x=3X-8,\qquad y=3Y-5 $$

となる。

一方、点 $P$ は円

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=4 $$

上を動くので、これに $x=3X-8,\ y=3Y-5$ を代入すると

$$ ((3X-8)-1)^2+((3Y-5)-1)^2=4 $$

すなわち

$$ (3X-9)^2+(3Y-6)^2=4 $$

である。

これを整理すると

$$ 9(X-3)^2+9(Y-2)^2=4 $$

よって

$$ (X-3)^2+(Y-2)^2=\frac{4}{9} $$

を得る。

したがって、重心 $G$ の軌跡は、中心 $(3,2)$、半径 $\dfrac{2}{3}$ の円である。

解法2

重心 $G$ は

$$ \vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OP}}{3} $$

を満たす。

ここで

$$ A(5,1),\qquad B(3,4) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{3} &= \left(\frac{5+3}{3},\frac{1+4}{3}\right) \\ \left(\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \vec{OG} &= \left(\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{3}\vec{OP} \end{aligned} $$

となる。

これは、点 $P$ を原点中心に $1/3$ 倍し、その後

$$ \left(\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right) $$

だけ平行移動した点が $G$ であることを意味する。

円 $C$ の中心は $(1,1)$、半径は $2$ であるから、この変換により中心は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{3}(1,1) &= (3,2) \end{aligned} $$

に移り、半径は

$$ 2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

となる。

よって、$G$ の軌跡は中心 $(3,2)$、半径 $\dfrac{2}{3}$ の円であり、その方程式は

$$ (x-3)^2+(y-2)^2=\frac{4}{9} $$

である。

解説

この問題の要点は、重心の座標が各頂点の座標の平均で表されることである。

したがって、$P$ の動きがそのまま一次変換されて $G$ の動きになる。座標で丁寧に処理してもよいし、解法2のように「拡大縮小と平行移動」と見てもよい。

特に、円は拡大縮小と平行移動によって再び円に移るので、軌跡も円になると見通せると処理が速い。

答え

重心 $G$ の軌跡は

$$ (x-3)^2+(y-2)^2=\frac{4}{9} $$

で表される円である。中心は $(3,2)$、半径は $\dfrac{2}{3}$ である。