解説

方針・初手

点 $P$ を文字でおいて座標表示し，重心 $G$，さらに中点 $M$ の座標を順に求める。 その後，$P$ の媒介変数を消去すれば，点 $M$ の軌跡の方程式が得られる。

解法1

放物線 $C$ は

$$ y=x^2-2x+3 $$

であるから，$C$ 上の点 $P$ を

$$ P(t,\ t^2-2t+3) $$

とおくことができる。

原点 $O=(0,0)$，点 $A=(2,0)$ なので，三角形 $OAP$ の重心 $G$ の座標は

$$ \begin{aligned} G\left(\frac{0+2+t}{3},\ \frac{0+0+(t^2-2t+3)}{3}\right) &= \left(\frac{t+2}{3},\ \frac{t^2-2t+3}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

さらに，$M$ は線分 $GP$ の中点だから，

$$ M\left( \frac{\frac{t+2}{3}+t}{2}, \frac{\frac{t^2-2t+3}{3}+(t^2-2t+3)}{2} \right) $$

となる。これを整理すると，

$$ M\left( \frac{2t+1}{3}, \frac{2(t^2-2t+3)}{3} \right) $$

を得る。

ここで，$M$ の座標を $(x,y)$ とおくと，

$$ x=\frac{2t+1}{3},\qquad y=\frac{2(t^2-2t+3)}{3} $$

である。

まず前式から $t$ を消去する。

$$ 2t=3x-1 $$

より，

$$ t=\frac{3x-1}{2} $$

である。これを $y$ の式に代入すると，

$$ y=\frac{2}{3}\left\{\left(\frac{3x-1}{2}\right)^2-2\left(\frac{3x-1}{2}\right)+3\right\} $$

である。

中を整理すると，

$$ \begin{aligned} \left(\frac{3x-1}{2}\right)^2-2\left(\frac{3x-1}{2}\right)+3 &= \frac{(3x-1)^2}{4}-(3x-1)+3 \\ &= \frac{9x^2-6x+1-12x+4+12}{4} \\ &= \frac{9x^2-18x+17}{4} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2}{3}\cdot \frac{9x^2-18x+17}{4} \\ &= \frac{9x^2-18x+17}{6} \end{aligned} $$

となる。

よって，点 $M$ の軌跡は

$$

y=\frac{9x^2-18x+17}{6}

$$

すなわち

$$

y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{17}{6}

$$

である。

解説

重心や中点が出てくる軌跡の問題では，動点をそのまま文字でおいて座標を追うのが基本である。 この問題では，$P$ を $P(t,\ t^2-2t+3)$ とおけば，$G$ も $M$ も $t$ で表せるので，最後は媒介変数 $t$ を消去するだけでよい。

特に，重心の座標は「3頂点の座標の平均」，中点の座標は「両端の座標の平均」であることを機械的に使える形にしておくと処理が速い。

答え

点 $M$ の軌跡の方程式は

$$

y=\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{17}{6}

$$

である。