解説

方針・初手

直線の式を $y=a(x-5)$ とおく。

（1） は、この直線と円 $x^2+y^2=9$ が異なる2点で交わる条件を、円の中心から直線までの距離で調べればよい。

（2） は、弦 $PQ$ の中点 $M$ が、円の中心 $O(0,0)$ から直線 $PQ$ に下ろした垂線の足になることを用いる。したがって、$M$ の座標を $a$ で表して消去すれば軌跡が出る。

解法1

**(1)**

直線 $y=a(x-5)$ を標準形に直すと

$$ ax-y-5a=0 $$

である。

円 $x^2+y^2=9$ の中心は $O(0,0)$、半径は $3$ である。直線が円と異なる2点で交わるための必要十分条件は、中心から直線までの距離が $3$ より小さいことである。

したがって

$$ \frac{|5a|}{\sqrt{a^2+1}}<3 $$

これを整理すると

$$ 25a^2<9(a^2+1) $$

$$ 16a^2<9 $$

$$ |a|<\frac34 $$

よって

$$ -\frac34<a<\frac34 $$

である。

**(2)**

弦 $PQ$ の中点を $M(x,y)$ とする。弦の中点は、その弦を含む直線に円の中心から下ろした垂線の足であるから、$M$ は直線

$$ ax-y-5a=0 $$

への原点からの垂足である。

したがって、垂足の公式より

$$ x=\frac{-a(-5a)}{a^2+(-1)^2}=\frac{5a^2}{a^2+1},\qquad y=\frac{-(-1)(-5a)}{a^2+(-1)^2}=-\frac{5a}{a^2+1} $$

となる。

ここで

$$ x^2+y^2 =\frac{25a^4}{(a^2+1)^2}+\frac{25a^2}{(a^2+1)^2} =\frac{25a^2}{a^2+1} $$

また

$$ 5x=5\cdot \frac{5a^2}{a^2+1}=\frac{25a^2}{a^2+1} $$

であるから

$$ x^2+y^2=5x $$

を得る。

さらに、（1） より $|a|<\dfrac34$ なので、直線は接線ではなく割線である。よって $M$ は円 $x^2+y^2=9$ の内部にあり、

$$ x^2+y^2<9 $$

を満たす。

$x^2+y^2=5x$ と合わせると

$$ 5x<9 $$

すなわち

$$ x<\frac95 $$

である。

したがって、点 $M$ の軌跡は

$$ x^2+y^2=5x \quad \left(x<\frac95\right) $$

である。これは、中心 $\left(\dfrac52,0\right)$、半径 $\dfrac52$ の円のうち、円 $x^2+y^2=9$ の内部にある部分である。

解説

（1） は「直線と円が異なる2点で交わる」という条件を、そのまま連立して判別式で処理してもよいが、中心から直線までの距離を使うと一気に処理できる。

（2） の要点は、弦の中点が中心から弦へ下ろした垂線の足になることである。この性質を使うと、中点 $M$ を直接求められる。得られた式から $a$ を消去すると、$M$ は円上を動くことが分かる。ただし接線の場合は含まれないので、接点に対応する端の2点は軌跡から除かれる。

答え

**(1)**

$$ -\frac34<a<\frac34 $$

**(2)**

点 $M$ の軌跡は

$$ x^2+y^2=5x \quad \left(x<\frac95\right) $$

すなわち、円 $x^2+y^2=5x$ のうち、円 $x^2+y^2=9$ の内部にある部分である。