解説

方針・初手

直線の方程式を $y=m(x-a)$ とおいて円 $x^2+y^2=1$ に代入する。

すると交点の $x$ 座標についての2次方程式が得られるので、（1） では判別式 $D>0$ を用いて異なる2点で交わる条件を求める。

また、（2） ではその2次方程式の2解を $x_1,x_2$ として、交点 $A,B$ の中点の座標を解と係数の関係で表し、最後に媒介変数 $m$ を消去する。

解法1

直線は点 $(a,0)$ を通り傾きが $m$ であるから、その方程式は

$$ y=m(x-a) $$

である。

これを円 $x^2+y^2=1$ に代入すると

$$ x^2+m^2(x-a)^2=1 $$

すなわち

$$ (1+m^2)x^2-2am^2x+(a^2m^2-1)=0 $$

を得る。

この2次方程式の2解を $x_1,x_2$ とすると、それが交点 $A,B$ の $x$ 座標である。

（1） $m$ の値の範囲

円と直線が異なる2点で交わるためには、上の2次方程式が異なる2実数解をもてばよい。したがって判別式を正とすればよい。

判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} D &=(-2am^2)^2-4(1+m^2)(a^2m^2-1) \\ &=4a^2m^4-4(1+m^2)(a^2m^2-1) \\ &=4{a^2m^4-a^2m^2-a^2m^4+1+m^2} \\ &=4{1-(a^2-1)m^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ D>0 \iff 1-(a^2-1)m^2>0 \iff m^2<\frac{1}{a^2-1}. $$

したがって

$$ -\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}<m<\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}. $$

（2） 線分 $AB$ の中点の軌跡

線分 $AB$ の中点を $M(X,Y)$ とする。

解と係数の関係より

$$ x_1+x_2=\frac{2am^2}{1+m^2} $$

であるから

$$ X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{am^2}{1+m^2}. $$

また、$A,B$ はともに直線 $y=m(x-a)$ 上にあるので、中点 $M$ もこの直線上にある。したがって

$$ Y=m(X-a). $$

ここに $X=\dfrac{am^2}{1+m^2}$ を代入すると

$$ \begin{aligned} Y &=m\left(\frac{am^2}{1+m^2}-a\right) \\ &=m\left(\frac{am^2-a-am^2}{1+m^2}\right) \\ &=-\frac{am}{1+m^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ X=\frac{am^2}{1+m^2},\qquad Y=-\frac{am}{1+m^2} $$

である。

ここで

$$ a-X=a-\frac{am^2}{1+m^2}=\frac{a}{1+m^2} $$

であるから

$$ X(a-X) =\frac{am^2}{1+m^2}\cdot \frac{a}{1+m^2} =\frac{a^2m^2}{(1+m^2)^2} =Y^2. $$

したがって

$$ Y^2=X(a-X) $$

すなわち

$$ X^2+Y^2=aX $$

を得る。

これを整理すると

$$ \left(X-\frac{a}{2}\right)^2+Y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2. $$

よって中点 $M$ の軌跡は、中心 $\left(\dfrac{a}{2},0\right)$、半径 $\dfrac{a}{2}$ の円の一部である。

さらに （1） より

$$ m^2<\frac{1}{a^2-1} $$

であり、

$$ X=\frac{am^2}{1+m^2} $$

だから

$$ 0\le X<\frac{1}{a}. $$

したがって軌跡は

$$ \left(X-\frac{a}{2}\right)^2+Y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2, \qquad 0\le X<\frac{1}{a} $$

で表される円弧である。

解説

この問題の本質は、交点を直接求めることではなく、交点の $x$ 座標を2次方程式の2解とみることである。

（1） では「異なる2点で交わる」という条件が、そのまま判別式 $D>0$ に対応する。ここで接する場合を含めないので、不等号は $\ge 0$ ではなく $>0$ である。

（2） では中点の座標を1点ずつ求める必要はなく、解と係数の関係から $x_1+x_2$ を出すのが最も自然である。さらに中点も直線上にあることを使えば、$Y$ もすぐに表せる。最後に $m$ を消去すると円の方程式になり、軌跡が円弧であることが分かる。

答え

**(1)**

$$ -\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}<m<\frac{1}{\sqrt{a^2-1}} $$

**(2)**

中点を $(X,Y)$ とすると、その軌跡は

$$ X^2+Y^2=aX $$

すなわち

$$ \left(X-\frac{a}{2}\right)^2+Y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

であり、範囲は

$$ 0\le X<\frac{1}{a} $$

である。したがって、中心 $\left(\dfrac{a}{2},0\right)$、半径 $\dfrac{a}{2}$ の円のうち

$$ 0\le X<\frac{1}{a} $$

を満たす部分が求める軌跡である。