解説

方針・初手

直線 $L:ax+by=1$ と双曲線 $y=-\dfrac{1}{x}$ の交点の $x$ 座標を方程式で求め，その2解を用いて $PQ$ と $RS$ を表す。

すると条件 $\dfrac{PQ}{RS}=\sqrt{2}$ から $a,b$ の関係式が出る。最後に，$PQ$ の中点を $M(X,Y)$ とおいて $X,Y$ を $a,b$ で表せば，軌跡が求まる。

解法1

直線 $L$ と曲線 $y=-\dfrac{1}{x}$ の交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とする。

$y=-\dfrac{1}{x}$ を $ax+by=1$ に代入すると，

$$ ax+b\left(-\frac{1}{x}\right)=1 $$

より，

$$ ax^2-x-b=0 $$

を得る。したがって $x_1,x_2$ はこの2次方程式の解である。

ここで

$$ x_1+x_2=\frac{1}{a},\qquad x_1x_2=-\frac{b}{a} $$

である。$a,b>0$ なので $x_1x_2<0$ となり，2解は異符号である。よって，$y$ 座標が正の点 $P$ は負の解に対応し，$y$ 座標が負の点 $Q$ は正の解に対応する。

$P,Q$ を

$$ P=\left(x_1,-\frac{1}{x_1}\right),\qquad Q=\left(x_2,-\frac{1}{x_2}\right) $$

とおく。

まず $PQ$ を求める。

$$ PQ^2=(x_2-x_1)^2+\left(-\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_1}\right)^2 $$

であり，

$$ -\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_1} =\frac{x_2-x_1}{x_1x_2} $$

だから，

$$ PQ^2=(x_2-x_1)^2\left(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2}\right) $$

となる。また，

$$ (x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 =\frac{1}{a^2}+\frac{4b}{a} =\frac{1+4ab}{a^2} $$

であり，

$$ (x_1x_2)^2=\frac{b^2}{a^2} $$

だから，

$$ PQ^2=\frac{1+4ab}{a^2}\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right) =\frac{(1+4ab)(a^2+b^2)}{a^2b^2} $$

を得る。

次に $R,S$ を求める。$R$ は $x$ 軸との交点なので $y=0$ として

$$ R=\left(\frac{1}{a},0\right) $$

である。同様に $S$ は $y$ 軸との交点なので $x=0$ として

$$ S=\left(0,\frac{1}{b}\right) $$

である。したがって，

$$ RS^2=\left(\frac{1}{a}\right)^2+\left(\frac{1}{b}\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} $$

となる。

よって，

$$ \frac{PQ^2}{RS^2}=1+4ab $$

である。条件 $\dfrac{PQ}{RS}=\sqrt{2}$ より，

$$ \frac{PQ^2}{RS^2}=2 $$

だから，

$$ 1+4ab=2 $$

すなわち，

$$ ab=\frac{1}{4} $$

を得る。

さて，$PQ$ の中点を $M(X,Y)$ とする。すると

$$ X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2a} $$

である。また，

$$ Y=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right) =-\frac{x_1+x_2}{2x_1x_2} $$

だから，

$$ Y=-\frac{\frac{1}{a}}{2\left(-\frac{b}{a}\right)}=\frac{1}{2b} $$

となる。

したがって，

$$ XY=\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{2b} =\frac{1}{4ab} $$

であり，$ab=\dfrac{1}{4}$ を用いると

$$ XY=1 $$

を得る。

さらに $a,b>0$ であるから

$$ X>0,\qquad Y>0 $$

である。よって中点 $M$ は第1象限の双曲線

$$ XY=1 $$

上を動く。

逆に，第1象限上の任意の点 $(X,Y)$ で $XY=1$ を満たすものに対し，

$$ a=\frac{1}{2X},\qquad b=\frac{1}{2Y} $$

とおけば $a,b>0$ かつ $ab=\dfrac{1}{4}$ となるので，この軌跡上の点はすべて実現する。

以上より，求める軌跡は第1象限の双曲線 $XY=1$ である。

解説

交点の座標を直接求めようとすると計算が煩雑になりやすいが，$x$ 座標を2次方程式の解とみて解と係数の関係を使うと整理しやすい。

この問題の本質は，$PQ$ と $RS$ の比の条件が実は単純に $ab=\dfrac{1}{4}$ に落ちること，および中点の座標が

$$ \left(\frac{1}{2a},\frac{1}{2b}\right) $$

ときれいに表せることにある。ここまで見抜ければ，軌跡はすぐに双曲線になる。

答え

線分 $PQ$ の中点の軌跡は，第1象限にある双曲線

$$ xy=1 \qquad (x>0,\ y>0) $$

である。