解説

方針・初手

重心の座標は、3頂点の座標の平均で表せる。したがってまず $A,P,Q$ の座標から $G$ を直接求める。

（2） では条件 $s-t=\dfrac{\pi}{2}$ を用いて $s$ を消去し、$G$ の座標を $t$ だけで表す。その後、$x,y$ の関係式に直して軌跡の方程式を求める。

解法1

$G$ の座標を $(x,y)$ とする。

三角形 $APQ$ の重心は3頂点の座標の平均であるから、

$$ x=\frac{1+\cos s+\cos t}{3},\qquad y=\frac{\sin s+\sin t}{3} $$

となる。

したがって （1） は

$$ G\left(\frac{1+\cos s+\cos t}{3},\ \frac{\sin s+\sin t}{3}\right) $$

である。

次に （2） を考える。

条件 $s-t=\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ s=t+\frac{\pi}{2} $$

であるから、

$$ \cos s=\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin t,\qquad \sin s=\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos t $$

となる。これを （1） の式に代入すると、

$$ x=\frac{1-\sin t+\cos t}{3},\qquad y=\frac{\cos t+\sin t}{3} $$

を得る。

ここで

$$ 3x-1=\cos t-\sin t,\qquad 3y=\sin t+\cos t $$

であるから、両辺を2乗して加えると

$$ \begin{aligned} (3x-1)^2+(3y)^2 &=(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2 \\ &=2(\cos^2 t+\sin^2 t) \\ &=2 \end{aligned} $$

となる。よって軌跡は

$$ (3x-1)^2+(3y)^2=2 $$

すなわち

$$ \left(x-\frac13\right)^2+y^2=\frac29 $$

という円の一部である。

次に、そのうちどの部分かを調べる。

$t\to 0^+$ のとき

$$ G\to \left(\frac23,\frac13\right) $$

また、$t\to \left(\dfrac{3\pi}{2}\right)^-$ のとき

$$ G\to \left(\frac23,-\frac13\right) $$

となる。

さらに

$$ 3x-1=\sqrt{2}\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right),\qquad 3y=\sqrt{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、円の中心 $\left(\dfrac13,0\right)$ から見た偏角は

$$ \frac{\pi}{4}<t+\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4} $$

を動く。したがって $G$ は、円

$$ \left(x-\frac13\right)^2+y^2=\frac29 $$

のうち、点 $\left(\dfrac23,\dfrac13\right)$ から点 $\left(\dfrac23,-\dfrac13\right)$ までの左側の大弧を動く。ただし両端点は含まない。

解説

この問題の要点は、重心の座標が「頂点の座標の平均」であることをそのまま使う点にある。

（2） では、$s-t=\dfrac{\pi}{2}$ から $\cos s,\sin s$ を $t$ で表せば、$x,y$ がともに $\sin t,\cos t$ の一次式になる。そのため、$(3x-1)^2+(3y)^2$ を作ると $\sin t,\cos t$ をきれいに消去でき、軌跡が円になる。

ただし、方程式だけでは円全体になってしまうので、最後に $t$ の範囲からどの弧に当たるかまで確定させる必要がある。

答え

**(1)**

$$ G\left(\frac{1+\cos s+\cos t}{3},\ \frac{\sin s+\sin t}{3}\right) $$

**(2)**

軌跡は

$$ \left(x-\frac13\right)^2+y^2=\frac29 $$

で表される円のうち、点

$$ \left(\frac23,\frac13\right),\quad \left(\frac23,-\frac13\right) $$

を端点とする左側の大弧である。ただし端点は含まない。