解説

方針・初手

$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$ より、点 $Q$ は点 $P$ と原点を結ぶ半直線上にあり、座標は

$$ c=ka,\qquad d=kb $$

と表せる。したがって、まず $a,b$ と $c,d$ の関係を整理し、条件 $OP\cdot OQ=4$ を用いて $k$ を求める。

そのうえで、点 $P$ が直線 $2x+y-6=0$ 上にある条件を、点 $Q(c,d)$ の条件に書き換えればよい。

解法1

$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$ より

$$ (c,d)=k(a,b) $$

であるから、

$$ c=ka,\qquad d=kb $$

が成り立つ。

また、$k>0$ なので

$$ OQ=k\cdot OP $$

である。よって条件 $OP\cdot OQ=4$ から

$$ OP\cdot (k,OP)=4 $$

すなわち

$$ k,OP^2=4 $$

を得る。

ここで

$$ OP^2=a^2+b^2 $$

であり、さらに $c=ka,\ d=kb$ だから

$$ c^2+d^2=k^2(a^2+b^2)=k^2OP^2 $$

である。上の $k,OP^2=4$ を用いると

$$ c^2+d^2=k^2OP^2=k,(kOP^2)=4k $$

となるので、

$$ k=\frac{c^2+d^2}{4} $$

である。

（1）

したがって、

$$ k=\frac{c^2+d^2}{4} $$

である。

（2）

点 $P(a,b)$ が直線 $2x+y-6=0$ 上を動くので、

$$ 2a+b-6=0 $$

が成り立つ。

一方、

$$ a=\frac{c}{k},\qquad b=\frac{d}{k} $$

であるから、これを代入して

$$ 2\frac{c}{k}+\frac{d}{k}-6=0 $$

すなわち

$$ 2c+d=6k $$

を得る。

ここで （1） より

$$ k=\frac{c^2+d^2}{4} $$

なので、

$$ 2c+d=6\cdot \frac{c^2+d^2}{4} $$

となる。整理すると

$$ 3(c^2+d^2)-4c-2d=0 $$

すなわち

$$ 3c^2-4c+3d^2-2d=0 $$

である。これを平方完成すると、

$$ c^2-\frac{4}{3}c+d^2-\frac{2}{3}d=0 $$

より

$$ \left(c-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9} +\left(d-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}=0 $$

したがって

$$ \left(c-\frac{2}{3}\right)^2+\left(d-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9} $$

となる。よって、点 $Q$ は

$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9} $$

で表される円 $C$ 上を動く。

（3）

点 $P$ は $(0,6)$ から $(3,0)$ まで動くので、この間では

$$ a\geqq 0,\qquad b\geqq 0 $$

である。しかも $k>0$ より

$$ (c,d)=k(a,b) $$

だから、点 $Q$ も常に第1象限（座標軸上を含む）にある。

まず両端に対応する点を求める。

**(i)**

$P=(0,6)$ のとき

$$ OP=6,\qquad OQ=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

であり、$Q$ は $y$ 軸上にあるから

$$ Q=\left(0,\frac{2}{3}\right) $$

である。

**(ii)**

$P=(3,0)$ のとき

$$ OP=3,\qquad OQ=\frac{4}{3} $$

であり、$Q$ は $x$ 軸上にあるから

$$ Q=\left(\frac{4}{3},0\right) $$

である。

したがって、点 $Q$ の動く範囲は、円

$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9} $$

のうち、第1象限にある部分、すなわち

$$ \left(0,\frac{2}{3}\right)\ \text{から}\ \left(\frac{4}{3},0\right) $$

までの上側の円弧である。

解説

この問題の本質は、$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}$ によって $P,Q$ が原点から同じ方向にあることと、$OP\cdot OQ=4$ が反比例型の条件になっていることである。

（2） では、$P$ の条件をそのまま扱うのではなく、$a=\frac{c}{k},\ b=\frac{d}{k}$ として $Q$ の条件へ移すのが基本手順である。すると $k$ を消去して円の方程式が得られる。

（3） では、円全体を答えるのではなく、どの部分を動くかまで確定する必要がある。ここで $a,b\geqq 0$ かつ $k>0$ から $c,d\geqq 0$ が分かるので、第1象限の円弧であることが決まる。

答え

**(1)**

$$ k=\frac{c^2+d^2}{4} $$

**(2)**

円 $C$ の方程式は

$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9} $$

である。

**(3)**

点 $Q$ の動く範囲は、円 $C$ のうち

$$ \left(0,\frac{2}{3}\right)\ \text{から}\ \left(\frac{4}{3},0\right) $$

までの第1象限側の円弧である。