基礎問題集
数学2 図形と式「軌跡」の問題25 解説
数学2の図形と式「軌跡」にある問題25の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線を文字 $t$ で表すと、接線の式も傾きも簡単に書ける。
そこで、点 $(a,b)$ を通る接線の接点をそれぞれ $x=t_1,\ x=t_2$ とおき、接線の条件と直交条件を式にする。
解法1
放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線は
$$ y=2tx-t^2 $$
である。
この接線が点 $(a,b)$ を通るので、
$$ b=2ta-t^2 $$
が成り立つ。これを $t$ について整理すると
$$ t^2-2at+b=0 $$
となる。
この方程式の $2$ つの実数解を $t_1,\ t_2$ とすると、これらは点 $(a,b)$ から引いた $2$ 本の接線の接点の $x$ 座標に対応する。
それぞれの接線の傾きは
$$ 2t_1,\ 2t_2 $$
である。
問題文より、この $2$ 本の接線は互いに直交するから、傾きの積は $-1$ である。したがって
$$ (2t_1)(2t_2)=-1 $$
すなわち
$$ 4t_1t_2=-1 $$
より
$$ t_1t_2=-\frac14 $$
を得る。
一方、方程式
$$ t^2-2at+b=0 $$
に対して、解と係数の関係より
$$ t_1t_2=b $$
である。
よって
$$ b=-\frac14 $$
となる。
解説
接線を「接点の $x$ 座標 $t$」で表すのが基本である。
放物線 $y=x^2$ の接線 $y=2tx-t^2$ が点 $(a,b)$ を通る条件を $t$ の二次方程式にすると、その $2$ 解が $2$ 本の接線に対応する。あとは、接線の傾きが $2t$ であることから、直交条件を傾きの積 $-1$ に翻訳すればよい。
この問題では $a$ に依らず $b$ が一定になることがポイントである。
答え
$$ b=-\frac14 $$