解説

方針・初手

直線が放物線に接する条件は，連立して得られる二次方程式が重解をもつことである。したがって，$\ell_1,\ell_2$ それぞれについて判別式を $0$ とおけば，$b,c$ の関係が求まる。

その後，(2) では $x$ 軸との交点条件を判別式で処理する。

(3) では，接点は「接線の傾き＝微分係数」から求めるのが最も速い。頂点も求めれば，重心の座標はその平均で与えられる。

解法1

（1） $b$ を求め，また $c$ を $a$ を用いて表す

放物線 $C$ と直線 $\ell_1:y=-3x+3$ が接するから，

$$ ax^2+bx+c=-3x+3 $$

すなわち

$$ ax^2+(b+3)x+(c-3)=0 $$

は重解をもつ。よって判別式は

$$ (b+3)^2-4a(c-3)=0 $$

である。

同様に，$C$ と $\ell_2:y=x+3$ が接するから，

$$ ax^2+bx+c=x+3 $$

すなわち

$$ ax^2+(b-1)x+(c-3)=0 $$

も重解をもち，

$$ (b-1)^2-4a(c-3)=0 $$

が成り立つ。

この2式の左辺を比較すると，

$$ (b+3)^2=(b-1)^2 $$

であるから，

$$ ((b+3)-(b-1))((b+3)+(b-1))=0 $$

$$ 4(2b+2)=0 $$

$$ b=-1 $$

となる。

これを

$$ (b+3)^2-4a(c-3)=0 $$

に代入すると，

$$ (-1+3)^2-4a(c-3)=0 $$

$$ 4-4a(c-3)=0 $$

$$ a(c-3)=1 $$

したがって，

$$ c=3+\frac{1}{a} $$

である。

（2） $C$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるとき，$\dfrac{1}{a}$ のとりうる値の範囲

（1） より，

$$ C:\ y=ax^2-x+3+\frac{1}{a} $$

である。

$x$ 軸との交点は

$$ ax^2-x+3+\frac{1}{a}=0 $$

の実数解に対応する。異なる2点で交わるための条件は判別式 $>0$ であるから，

$$ (-1)^2-4a\left(3+\frac{1}{a}\right)>0 $$

$$ 1-12a-4>0 $$

$$ -12a-3>0 $$

$$ a<-\frac14 $$

よって，$a<-\dfrac14$ より

$$ \frac{1}{a}\in(-4,0) $$

である。

（3） $\triangle PQR$ の重心 $G$ の軌跡

放物線

$$ y=ax^2-x+3+\frac{1}{a} $$

の微分係数は

$$ y'=2ax-1 $$

である。

接点 $P,Q$ の座標

$\ell_1$ の傾きは $-3$ なので，接点 $P$ の $x$ 座標を $x_P$ とすると

$$ 2ax_P-1=-3 $$

より

$$ x_P=-\frac{1}{a} $$

したがって，

$$ y_P=-3\left(-\frac{1}{a}\right)+3=3+\frac{3}{a} $$

である。ゆえに

$$ P\left(-\frac{1}{a},,3+\frac{3}{a}\right) $$

となる。

同様に，$\ell_2$ の傾きは $1$ だから，接点 $Q$ の $x$ 座標を $x_Q$ とすると

$$ 2ax_Q-1=1 $$

より

$$ x_Q=\frac{1}{a} $$

また，

$$ y_Q=\frac{1}{a}+3 $$

であるから，

$$ Q\left(\frac{1}{a},,3+\frac{1}{a}\right) $$

となる。

頂点 $R$ の座標

放物線 $y=ax^2-x+3+\dfrac{1}{a}$ の頂点の $x$ 座標は

$$ x_R=-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a} $$

である。

これを代入すると，

$$ y_R=a\left(\frac{1}{2a}\right)^2-\frac{1}{2a}+3+\frac{1}{a} $$

$$ =\frac{1}{4a}-\frac{1}{2a}+3+\frac{1}{a} $$

$$ =3+\frac{3}{4a} $$

したがって，

$$ R\left(\frac{1}{2a},,3+\frac{3}{4a}\right) $$

である。

重心 $G$ の座標

重心 $G$ の座標は3点の座標の平均であるから，

$$ x_G=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}\right)=\frac{1}{6a} $$

また，

$$ y_G=\frac{1}{3}\left(3+\frac{3}{a}+3+\frac{1}{a}+3+\frac{3}{4a}\right) $$

$$ =3+\frac{1}{3}\left(\frac{4}{a}+\frac{3}{4a}\right) $$

$$ =3+\frac{19}{12a} $$

となる。

ここで

$$ x=\frac{1}{6a} $$

とおけば

$$ \frac{1}{a}=6x $$

であるから，

$$ y=3+\frac{19}{12}\cdot 6x $$

すなわち

$$ y=\frac{19}{2}x+3 $$

を得る。

さらに （2） より

$$ -4<\frac{1}{a}<0 $$

であるから，

$$ -\frac{2}{3}<x<0 $$

となる。

したがって，重心 $G$ の軌跡は

$$ y=\frac{19}{2}x+3 \qquad \left(-\frac{2}{3}<x<0\right) $$

である。

解説

この問題の核心は，接する条件を「判別式 $=0$」で処理する点にある。2本の接線について判別式を立てると，$b$ と $c$ がすぐに絞られる。

また，(3) は接点を連立で求めることもできるが，接線の傾きと微分係数を一致させると計算が非常に短くなる。重心の座標は $1/a$ に関して一次式になるので，最後は消去して直線の軌跡になる。

答え

**(1)**

$$ b=-1,\qquad c=3+\frac{1}{a} $$

**(2)**

$$ \frac{1}{a}\in(-4,0) $$

**(3)**

重心 $G$ の軌跡は

$$ y=\frac{19}{2}x+3 \qquad \left(-\frac{2}{3}<x<0\right) $$

である。