解説

方針・初手

直線 $l:ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a,b)$ である。したがって、$l$ に垂直な直線 $m$ はこのベクトルに平行である。

そこで、点 $A(x_0,y_0)$ から交点 $P(X,Y)$ へのベクトル $(X-x_0,\ Y-y_0)$ が $(a,b)$ に平行であることを用いて、まず直線 $m$ の式を立てる。その後、$P$ が $l$ 上にもあることを使って $X-x_0,\ Y-y_0$ を求めれば、最後に距離 $AP$ が計算できる。

解法1

直線 $l$ の法線ベクトルは $(a,b)$ であるから、これに垂直な直線 $m$ の方向ベクトルは $(a,b)$ である。

よって、点 $A(x_0,y_0)$ を通る直線 $m$ 上の点は、ある実数 $t$ を用いて

$$ (x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b) $$

と表せる。したがって、

$$ b(x-x_0)=a(y-y_0) $$

である。したがって、

$$ [ア]=a $$

である。

次に、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を $P(X,Y)$ とする。このとき

$$ u=X-x_0,\quad v=Y-y_0 $$

とおく。

点 $P$ は直線 $m$ 上にあるから、

$$ bu=av $$

が成り立つ。これは $(u,v)$ が $(a,b)$ に平行であることを意味するので、ある実数 $t$ を用いて

$$ u=at,\quad v=bt $$

とおける。

一方、点 $P$ は直線 $l$ 上にもあるから、

$$ aX+bY+c=0 $$

である。ここで $X=x_0+u,\ Y=y_0+v$ を代入すると、

$$ a(x_0+u)+b(y_0+v)+c=0 $$

すなわち

$$ au+bv=-(ax_0+by_0+c) $$

となる。

さらに $u=at,\ v=bt$ を代入すると、

$$ a(at)+b(bt)=-(ax_0+by_0+c) $$

より

$$ (a^2+b^2)t=-(ax_0+by_0+c) $$

したがって

$$ t=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $$

である。

よって

$$ X-x_0=u=at=-\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $$

および

$$ Y-y_0=v=bt=-\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $$

となる。したがって、

$$ [イ]=-\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2},\qquad [ウ]=-\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $$

である。

最後に、点 $A$ と点 $P$ の距離は

$$ AP=\sqrt{(X-x_0)^2+(Y-y_0)^2} $$

であるから、

$$ AP =\sqrt{\left(-\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2 +\left(-\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2} $$

$$ =\frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2} =\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

となる。したがって、

$$ [エ]=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

解説

この問題の本質は、直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルが $(a,b)$ であることにある。垂線の方向は法線ベクトルそのものになるので、交点までの差 $(X-x_0,\ Y-y_0)$ を $(a,b)$ の実数倍とおくのが最も自然である。

そのようにおくと、未知数が $t$ ひとつになり、あとは「交点 $P$ は直線 $l$ 上にある」という条件を代入するだけで処理できる。距離の公式まで一直線につながるので、座標計算として非常に標準的な解法である。

答え

$$ [ア]=a $$

$$ [イ]=-\frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $$

$$ [ウ]=-\frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $$

$$ [エ]=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$