解説

方針・初手

直線 $l$ が $y$ 軸に平行でないことをまず確認し、その後は直線を

$$ y=mx+n $$

とおいて考える。

点 $(x_0,y_0)$ と直線 $mx-y+n=0$ との距離は

$$ \frac{|mx_0-y_0+n|}{\sqrt{m^2+1}} $$

であるから、$A(1,0),B(-1,0)$ から $l$ までの距離の和を式で表し、$l$ が線分 $AB$ と交わる場合と交わらない場合で絶対値の外し方を分ければよい。

解法1

**(1)**

$l$ は $y$ 軸と平行でないことを示す。

$l$ が $y$ 軸に平行であるとすると、$l$ は

$$ x=k $$

と書ける。

このとき、$A(1,0)$ と $B(-1,0)$ から $l$ までの距離の和は

$$ |1-k|+|-1-k| $$

である。

ここで、$-1\leqq k\leqq 1$ なら

$$ |1-k|+|-1-k|=(1-k)+(1+k)=2 $$

であり、$k>1$ または $k<-1$ でも距離の和は $2$ 以上となる。

したがって、距離の和が $1$ になることはない。よって、$l$ は $y$ 軸に平行でない。

**(2)**

$l$ が線分 $AB$ と交わるとき、$l$ の傾きを求める。

（1） より、$l$ は

$$ y=mx+n $$

と書ける。

このとき、直線の方程式を

$$ mx-y+n=0 $$

とみると、$A,B$ から $l$ までの距離はそれぞれ

$$ \frac{|m+n|}{\sqrt{m^2+1}},\qquad \frac{|-m+n|}{\sqrt{m^2+1}} $$

である。したがって、条件より

$$ \frac{|m+n|+|n-m|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

が成り立つ。

$l$ が線分 $AB$ と交わるとする。線分 $AB$ は $x$ 軸上の $-1\leqq x\leqq 1$ の部分であるから、$l$ の $x$ 切片 $-\dfrac{n}{m}$ は

$$ -1\leqq -\frac{n}{m}\leqq 1 $$

を満たす。よって

$$ \left|\frac{n}{m}\right|\leqq 1 $$

すなわち

$$ |n|\leqq |m| $$

である。

このとき $m+n$ と $n-m$ は異符号または一方が $0$ になるので、

$$ |m+n|+|n-m|=2|m| $$

となる。したがって

$$ \frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

であり、両辺を2乗して

$$ 4m^2=m^2+1 $$

$$ 3m^2=1 $$

$$ m^2=\frac{1}{3} $$

となるから、

$$ m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

**(3)**

$l$ が線分 $AB$ と交わらないとき、$l$ と原点との距離を求める。

再び

$$ \frac{|m+n|+|n-m|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

を用いる。

$l$ が線分 $AB$ と交わらないとき、$x$ 軸上の区間 $-1\leqq x\leqq 1$ で $y=mx+n$ は $0$ にならない。したがって、$x$ 切片が存在するならその位置は区間 $[-1,1]$ の外側にあり、

$$ \left|-\frac{n}{m}\right|>1 $$

すなわち

$$ |n|>|m| $$

である。なお、$m=0$ のときも $l$ は $x$ 軸と平行であり、やはり線分 $AB$ と交わらず、この場合も $|n|>|m|$ は成り立つ。

よってこの場合は $n$ の絶対値のほうが大きいので、

$$ |m+n|+|n-m|=2|n| $$

となる。したがって

$$ \frac{2|n|}{\sqrt{m^2+1}}=1 $$

である。

原点 $O(0,0)$ と直線 $l$ との距離は

$$ \frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}} $$

であるから、上式より

$$ \frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{2} $$

となる。よって、求める距離は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、距離の和の条件を絶対値を含む式で表し、直線が線分 $AB$ と交わるかどうかで絶対値の外し方が変わることにある。

$A,B$ はともに $x$ 軸上にあるので、直線が線分 $AB$ と交わるときは $A,B$ が直線の反対側にあり、距離の和は $2|m|/\sqrt{m^2+1}$ になる。一方、交わらないときは $A,B$ が直線の同じ側にあり、距離の和は $2|n|/\sqrt{m^2+1}$ になる。これを使うと、（2） では傾きが決まり、（3） では原点からの距離が一定値として求まる。

答え

**(1)**

$l$ は $y$ 軸に平行でない。

**(2)**

$l$ の傾きは

$$ \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

**(3)**

$l$ と原点との距離は

$$ \frac{1}{2} $$

である。