解説

方針・初手

直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a,b)$ である。したがって、点 $P(x_0,y_0)$ からこの直線へ下ろした垂線は、ベクトル $(a,b)$ の方向に進むと考えられる。

そこで、垂足を $H$ とし、$H$ を

$$ H=(x_0+ta,\ y_0+tb) $$

とおいて、$H$ が直線上にある条件から $t$ を求めれば、距離 $PH$ が計算できる。

解法1

点 $P(x_0,y_0)$ から直線

$$ ax+by+c=0 $$

に下ろした垂線の足を $H$ とする。

直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a,b)$ であるから、$\overrightarrow{PH}$ は $(a,b)$ に平行である。よって、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{PH}=(ta,\ tb) $$

と書ける。したがって、$H$ の座標は

$$ H=(x_0+ta,\ y_0+tb) $$

である。

ここで $H$ は直線 $ax+by+c=0$ 上の点であるから、その座標を代入すると

$$ a(x_0+ta)+b(y_0+tb)+c=0 $$

となる。整理して

$$ ax_0+by_0+c+t(a^2+b^2)=0 $$

であるから、

$$ t=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $$

を得る。

よって、求める距離 $PH$ は

$$ PH=\sqrt{(ta)^2+(tb)^2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} PH &=\sqrt{t^2(a^2+b^2)} \\ &=|t|\sqrt{a^2+b^2} \\ &=\left|-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\right|\sqrt{a^2+b^2} \\ &=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} $$

となる。

したがって、点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は

$$ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

であることが示された。

解説

この証明の要点は、直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルが $(a,b)$ であることにある。垂線の方向が法線ベクトルの方向と一致するので、垂足を $(x_0+ta,\ y_0+tb)$ とおける。

そのあと必要なのは、垂足が直線上にあるという条件を代入して $t$ を決めることだけである。距離公式をそのまま使えば、与えられた式が自然に現れる。

答え

点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は

$$ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。これは、垂足を $H=(x_0+ta,\ y_0+tb)$ とおき、$H$ が直線上にある条件から $t$ を求めて距離 $PH$ を計算すれば証明できる。