解説

方針・初手

点 $P$ を放物線上の点として固定すると，その点 $P$ から直線 $y=x-3$ 上の点 $Q$ までの距離が最小になるのは，$Q$ が $P$ からその直線に下ろした垂線の足であるときである。

したがって，まず放物線上の点 $P$ から直線 $y=x-3$ までの距離を $x$ で表し，それを最小にすればよい。

解法1

放物線 $y=x^2-1$ 上の点を

$$ P=(t,\ t^2-1) $$

とおく。

直線 $y=x-3$ を標準形に直すと

$$ x-y-3=0 $$

である。

よって，点 $P$ からこの直線までの距離 $d$ は，点と直線の距離の公式より

$$ d=\frac{|t-(t^2-1)-3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} =\frac{|-t^2+t-2|}{\sqrt{2}} $$

となる。

ここで

$$ -t^2+t-2=-(t^2-t+2) $$

であり，

$$ t^2-t+2=\left(t-\frac12\right)^2+\frac74>0 $$

だから，

$$ |-t^2+t-2|=t^2-t+2 $$

である。したがって

$$ d=\frac{t^2-t+2}{\sqrt{2}} =\frac{\left(t-\frac12\right)^2+\frac74}{\sqrt{2}} $$

となる。

ゆえに $d$ が最小となるのは

$$ t=\frac12 $$

のときであり，その最小値は

$$ d_{\min}=\frac{\frac74}{\sqrt2} =\frac{7\sqrt2}{8} $$

である。

このとき

$$ P=\left(\frac12,\ \left(\frac12\right)^2-1\right) =\left(\frac12,\ -\frac34\right) $$

である。

次に，この点 $P$ から直線 $y=x-3$ に下ろした垂線の足を求める。

直線 $y=x-3$ の傾きは $1$ だから，これに垂直な直線の傾きは $-1$ である。よって，点 $P\left(\frac12,-\frac34\right)$ を通る垂線は

$$ y+\frac34=-1\left(x-\frac12\right) $$

すなわち

$$ y=-x-\frac14 $$

である。

これと $y=x-3$ との交点を求めると，

$$ x-3=-x-\frac14 $$

より

$$ 2x=\frac{11}{4} $$

なので

$$ x=\frac{11}{8} $$

である。したがって

$$ y=x-3=\frac{11}{8}-3=-\frac{13}{8} $$

となる。

ゆえに，距離が最小となるときの点 $Q$ は

$$ Q\left(\frac{11}{8},\ -\frac{13}{8}\right) $$

である。

解説

固定した点 $P$ から直線上の点 $Q$ までの距離の最小は，垂線の足を用いればよい。この事実を使うと，2点間距離の最小化が「放物線上の点から直線までの距離の最小化」に帰着できる。

あとは点と直線の距離公式を使って二次式の最小値を求めればよい。距離そのものを直接 2 変数で扱うより，計算がはるかに簡潔になる典型問題である。

答え

点 $Q$ の座標は

$$ \left(\frac{11}{8},\ -\frac{13}{8}\right) $$

であり，このときの最小距離は

$$ \frac{7\sqrt2}{8} $$

である。