解説

方針・初手

点 $P(x,y)$ が円 $C_a$ の動く範囲に含まれるための条件は、ある実数 $a$ に対して $P$ が円 $C_a$ 上にあることである。

したがって

$$ (x-a)^2+(y-a)^2=a^2+1 $$

を $a$ について見て、実数解の存在条件を調べればよい。

解法1

点 $P(x,y)$ を固定する。$P$ がある円 $C_a$ 上にある条件は

$$ (x-a)^2+(y-a)^2=a^2+1 $$

であり、これを整理すると

$$ a^2-2(x+y)a+(x^2+y^2-1)=0 $$

となる。

（1） $a$ がすべての実数を動く場合

この二次方程式が実数解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &=[-2(x+y)]^2-4(x^2+y^2-1)\\ &=4{(x+y)^2-x^2-y^2+1}\\ &=4(2xy+1) \end{aligned} $$

である。

よって実数解が存在する条件は

$$ D\ge0 $$

すなわち

$$ 2xy+1\ge0 $$

である。

したがって、円 $C_a$ が動く範囲は

$$ xy\ge -\frac12 $$

で表される領域である。

（2） $a$ が $0\le a$ のすべての実数を動く場合

今、

$$ f(a)=a^2-2(x+y)a+(x^2+y^2-1) $$

とおく。これは上に開く二次関数であるから、$a\ge0$ の範囲で解をもつ条件は、$a\ge0$ における最小値が $0$ 以下であることと同値である。

（i） $x+y\ge0$ のとき

頂点 $a=x+y$ が $a\ge0$ の範囲にあるので、

$$ \begin{aligned} \min_{a\ge0}f(a) &=f(x+y)\\ &=x^2+y^2-1-(x+y)^2\\ &=-2xy-1 \end{aligned} $$

となる。

したがって必要十分条件は

$$ -2xy-1\le0 $$

すなわち

$$ xy\ge-\frac12 $$

である。

（ii） $x+y<0$ のとき

頂点は $a<0$ にあるので、$a\ge0$ では $f(a)$ は単調増加する。よって最小値は $a=0$ でとり、

$$ \min_{a\ge0}f(a)=f(0)=x^2+y^2-1 $$

となる。

したがって必要十分条件は

$$ x^2+y^2-1\le0 $$

すなわち

$$ x^2+y^2\le1 $$

である。

以上より、求める範囲は

$$ {(x,y)\mid x+y\ge0,\ xy\ge-\tfrac12} \ \cup {(x,y)\mid x+y<0,\ x^2+y^2\le1} $$

である。

境界は、円

$$ x^2+y^2=1 $$

のうち $x+y\le0$ の弧と、双曲線

$$ xy=-\frac12 $$

のうち $x+y\ge0$ の枝からなる。これらは

$$ \left(-\frac1{\sqrt2},\ \frac1{\sqrt2}\right),\quad \left(\frac1{\sqrt2},\ -\frac1{\sqrt2}\right) $$

でつながる。

解説

この問題の本質は、「円がどう動くか」を直接追うことではなく、「ある点 $(x,y)$ が少なくとも1つの円 $C_a$ 上にのる条件」を調べることにある。そのため、$a$ に関する二次方程式に直して考えるのが自然である。

（1） では $a$ に制限がないので、判別式の条件だけで終わる。

（2） では $a\ge0$ という制約があるため、単に実数解があるかどうかでは足りない。$a\ge0$ の範囲で解をもつかどうかを、二次関数の最小値で判定する必要がある。この違いがこの問題の要点である。

答え

**(1)**

円 $C_a$ が動く範囲は

$$ xy\ge-\frac12 $$

である。

**(2)**

円 $C_a\ (a\ge0)$ が動く範囲は

$$ {(x,y)\mid x+y\ge0,\ xy\ge-\tfrac12} \ \cup {(x,y)\mid x+y<0,\ x^2+y^2\le1} $$

である。

図示すると、境界は円 $x^2+y^2=1$ のうち $x+y\le0$ の弧と、双曲線 $xy=-\dfrac12$ のうち $x+y\ge0$ の枝である。