解説

方針・初手

まず式を平方完成して，各 $t$ に対する $C$ の中心と半径を求める。すると，$C$ が円である条件は半径の2乗が正であることに帰着する。

また，（2），（3） では，点 $(x,y)$ がある $t$ に対する $C$ 上にあるための条件を，もとの式を $t$ について解いて調べる。今回の式は $t$ について一次式なので，通過領域は比較的直接に決まる。

解法1

与えられた式は

$$ x^2+y^2-4-t(2x+2y-a)=0 $$

である。これを整理すると

$$ x^2+y^2-2tx-2ty+at-4=0 $$

したがって平方完成により

$$ (x-t)^2+(y-t)^2=2t^2-at+4 $$

となる。よって，$C$ の中心は $(t,t)$，半径の2乗は

$$ r^2=2t^2-at+4 $$

である。

**(1)**

$C$ が円であるためには，すべての実数 $t$ に対して

$$ 2t^2-at+4>0 $$

が必要十分である。これは $t$ の2次式が全実数で正である条件なので，判別式が負であればよい。

$$ (-a)^2-4\cdot 2\cdot 4<0 $$

$$ a^2-32<0 $$

$$ -4\sqrt{2}<a<4\sqrt{2} $$

したがって求める範囲は

$$ -4\sqrt{2}<a<4\sqrt{2} $$

である。

**(2)**

$a=4$ とすると，方程式は

$$ x^2+y^2-4-t(2x+2y-4)=0 $$

すなわち

$$ x^2+y^2-4=2t(x+y-2) $$

となる。

ある点 $(x,y)$ が，ある $t>0$ に対する円 $C$ 上にあるためには，この式を満たす $t>0$ が存在すればよい。

まず $x+y\neq 2$ のとき，

$$ t=\frac{x^2+y^2-4}{2(x+y-2)} $$

であるから，$t>0$ となる必要十分条件は

$$ \frac{x^2+y^2-4}{x+y-2}>0 $$

である。よって

$$ x^2+y^2-4<0,\ x+y-2<0 $$

または

$$ x^2+y^2-4>0,\ x+y-2>0 $$

である。

すなわち，

• 円 $x^2+y^2=4$ の内部で，直線 $x+y=2$ の下側
• 円 $x^2+y^2=4$ の外部で，直線 $x+y=2$ の上側

の点が通過領域に入る。

次に $x+y=2$ のときを調べる。このとき元の式は

$$ x^2+y^2-4=0 $$

となる。これと $x+y=2$ を連立すると

$$ (x,y)=(2,0),(0,2) $$

のみである。これら2点では元の式は $t$ によらず成り立つので，いずれも通過領域に含まれる。

したがって，求める領域は

$$ {(x,y)\mid x^2+y^2<4,\ x+y<2} \cup {(x,y)\mid x^2+y^2>4,\ x+y>2} \cup {(2,0),(0,2)} $$

である。

図示すると，円 $x^2+y^2=4$ と直線 $x+y=2$ とで平面が分かれ，そのうち

• 円の内部かつ $x+y<2$ の部分
• 円の外部かつ $x+y>2$ の部分

をとり，境界は一般に含まれないが，交点 $(2,0),(0,2)$ のみ含まれる。

**(3)**

$a=6$ とすると，半径の2乗は

$$ r^2=2t^2-6t+4=2(t-1)(t-2) $$

である。$t>0$ かつ $C$ が円であるためには

$$ 2(t-1)(t-2)>0 $$

より

$$ 0<t<1 \quad \text{または} \quad t>2 $$

でなければならない。

一方，元の式は

$$ x^2+y^2-4=2t(x+y-3) $$

である。したがって，$x+y\neq 3$ なら

$$ t=\frac{x^2+y^2-4}{2(x+y-3)} $$

と表される。

ここで，$t=1,2$ との比較をしやすくするために変形する。元の式から

$$ x^2+y^2-2x-2y+2=2(t-1)(x+y-3) $$

すなわち

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=2(t-1)(x+y-3) $$

また

$$ x^2+y^2-4x-4y+8=2(t-2)(x+y-3) $$

すなわち

$$ (x-2)^2+(y-2)^2=2(t-2)(x+y-3) $$

を得る。

まず $x+y<3$ のとき，右辺の $(x+y-3)$ は負であり，左辺はともに $0$ 以上であるから，

$$ t-1\le 0,\quad t-2\le 0 $$

すなわち

$$ t\le 1 $$

である。この側でさらに $t>0$ となるためには，式

$$ t=\frac{x^2+y^2-4}{2(x+y-3)} $$

より分子も負，すなわち

$$ x^2+y^2<4 $$

が必要である。したがってこの側の通過領域は，円 $x^2+y^2=4$ の内部で $x+y<3$ を満たす部分である。

ただし $t=1$ のときは円ではなく点になる。$t=1$ となるのは

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=0 $$

すなわち

$$ (x,y)=(1,1) $$

のときだけなので，この点は除く。

次に $x+y>3$ のとき，今度は $(x+y-3)$ が正であるから

$$ t-1\ge 0,\quad t-2\ge 0 $$

すなわち

$$ t\ge 2 $$

である。この側でさらに $t>0$ となるためには分子も正，すなわち

$$ x^2+y^2>4 $$

が必要である。したがってこの側の通過領域は，円 $x^2+y^2=4$ の外部で $x+y>3$ を満たす部分である。

ただし $t=2$ のときは点になる。$t=2$ となるのは

$$ (x-2)^2+(y-2)^2=0 $$

すなわち

$$ (x,y)=(2,2) $$

のときだけなので，この点は除く。

なお，$x+y=3$ のときは元の式から $x^2+y^2=4$ が必要になるが，$x+y=3$ と $x^2+y^2=4$ は両立しないので，この直線上に通過点はない。

以上より，求める領域は

$$ {(x,y)\mid x^2+y^2<4,\ x+y<3,\ (x,y)\neq(1,1)} $$

と

$$ {(x,y)\mid x^2+y^2>4,\ x+y>3,\ (x,y)\neq(2,2)} $$

の和集合である。

図示すると，円 $x^2+y^2=4$ と直線 $x+y=3$ によって分かれるうち，

• 円の内部かつ $x+y<3$ の部分から点 $(1,1)$ を除いたもの
• 円の外部かつ $x+y>3$ の部分から点 $(2,2)$ を除いたもの

が求める領域である。

解説

この問題の本質は，円の方程式を平方完成して，中心と半径を明確にすることにある。

（1） では，半径の2乗が $t$ の2次式になるので，「すべての $t$ で正」という条件は判別式で一気に処理できる。

（2），（3） では，もとの式が $t$ について一次式であることが重要である。したがって，任意の点 $(x,y)$ に対して，その点を通る円が存在するかどうかは，対応する $t$ が条件を満たすかどうかに直結する。特に （3） では，$t=1,2$ が退化する値なので，それに対応する点 $(1,1),(2,2)$ を落としやすい。ここが最も注意すべき点である。

答え

**(1)**

$$ -4\sqrt{2}<a<4\sqrt{2} $$

**(2)**

$$ {(x,y)\mid x^2+y^2<4,\ x+y<2} \cup {(x,y)\mid x^2+y^2>4,\ x+y>2} \cup {(2,0),(0,2)} $$

**(3)**

$$ {(x,y)\mid x^2+y^2<4,\ x+y<3,\ (x,y)\neq(1,1)} \cup {(x,y)\mid x^2+y^2>4,\ x+y>3,\ (x,y)\neq(2,2)} $$