解説

方針・初手

不等式

$$ x^2+(y-\sqrt{3}-1)^2\leqq 4 $$

は，中心 $(0,\sqrt{3}+1)$，半径 $2$ の円の内部を表す。

したがって領域 $D$ は，この円の内部のうち，さらに $y\geqq 1$ を満たす部分である。まず円と直線 $y=1$ の位置関係を調べ，その後，円全体から下側の小さい弓形部分を引けば面積が出る。

解法1

（1） 図示

与えられた円は

$$ x^2+(y-(\sqrt{3}+1))^2=4 $$

であり，中心は $(0,\sqrt{3}+1)$，半径は $2$ である。

直線 $y=1$ との交点を求めると，

$$ x^2+(1-\sqrt{3}-1)^2=4 $$

より

$$ x^2+3=4 $$

したがって

$$ x=\pm 1 $$

である。よって交点は $(-1,1)$，$(1,1)$ である。

したがって $D$ は，中心 $(0,\sqrt{3}+1)$，半径 $2$ の円の内部のうち，直線 $y=1$ より上側の部分である。すなわち，円を弦 $y=1$ で切ったときの上側の大きい部分である。

（2） 面積

円の面積は

$$ \pi\cdot 2^2=4\pi $$

である。

次に，直線 $y=1$ より下側の小さい弓形部分の面積を求める。

円の中心を $O$，交点をそれぞれ $A(-1,1)$，$B(1,1)$ とする。中心 $O$ から直線 $y=1$ までの距離は

$$ (\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3} $$

である。

半径は $2$ なので，$\triangle OAB$ において

$$ \cos \angle AOM=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。ただし $M$ は弦 $AB$ の中点である。よって

$$ \angle AOM=\frac{\pi}{6} $$

したがって

$$ \angle AOB=\frac{\pi}{3} $$

である。

よって扇形 $AOB$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot \frac{\pi}{3} =\frac{2\pi}{3} $$

また，三角形 $AOB$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sin \frac{\pi}{3} =\sqrt{3} $$

したがって，下側の小さい弓形部分の面積は

$$ \frac{2\pi}{3}-\sqrt{3} $$

となる。

ゆえに求める領域 $D$ の面積は

$$ 4\pi-\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right) =\frac{10\pi}{3}+\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題は，円の内部と半平面 $y\geqq 1$ の共通部分を見る問題である。

面積は直接積分するよりも，円全体の面積から，下側の小さい弓形の面積を引くのが最も簡潔である。弓形の面積は「扇形 $-$ 三角形」で処理するのが典型である。

答え

**(1)**

$D$ は，中心 $(0,\sqrt{3}+1)$，半径 $2$ の円の内部のうち，直線 $y=1$ より上側の部分である。境界との交点は $(-1,1)$，$(1,1)$ である。

**(2)**

$$ \frac{10\pi}{3}+\sqrt{3} $$